Ťažisko (fyzika)

z Wikipédie, slobodnej encyklopédie
Prejsť na: navigácia, hľadanie

Ťažisko alebo hmotný stred sústavy je bod, ktorý sa pohybuje, ako keby v ňom bola sústredená celá hmotnosť sústavy a pôsobili v ňom všetky sily pôsobiace na sústavu. V homogénnom gravitačnom alebo zotrvačnom poli môžeme všetky gravitačné a zotrvačné sily pôsobiace na tuhé teleso nahradiť jedinou silou pôsobiacou v ťažisku.

Definícia[upraviť | upraviť zdroj]

Ťažisko \vec{T} sústavy hmotných bodov je rovnaké ako vážený súčin ich polôh \vec{r_i}, kde veľkosťou sú ich hmotnosti.

\vec{T} = \frac{\sum m_i \vec{r_i}}{M}

Kde M = \sum m_i je celková hmotnosť sústavy.

Vlastnosti[upraviť | upraviť zdroj]

Najjednoduchší spôsob zistenia ťažiska je narysovanie uhlopriečok pri rovinných útvaroch. Ak útvar zavesíme v ťažisku, mal by rovnomerne stáť. Ak teleso podoprieme, musíme v ťažisku, inak spadne. Poloha ťažiska závisí od rozloženia látky v telese. Dobrý príklad je hojdačka. Je podopretá v ťažisku, takže je v rovnováhe. Ak si ale na ňu niekto sadne, hmota sa na ňu zaváži, ťažisko sa presunie a keďže už nie je hojdačka podopretá pod ťažiskom, nakloní sa. Ďalší príklad je, že ak si človek sadne, postaví sa alebo ľahne, tiež sa presunie hmota a zmení ťažisko.

Ťažisko zjednotenia niekoľkých sústav[upraviť | upraviť zdroj]

Ak máme n sústav hmotných bodov s celkovými hmotnosťami M_1, M_2, \dots, M_n a s ťažiskami \vec{T_1}, \vec{T_2}, \dots, \vec{T_n}, výsledné ťažisko zjednotenia týchto sústav má rovnakú polohu, ako poloha ťažiska sústavy n hmotných bodov nachádzajúcich sa v ťažiskách jednotlivých sústav majúcich hmotnosti zodpovedajúce celkovým hmotnostiam sústav. Táto dôležitá vlastnosť ťažiska plynie z vlastností váženého aritmetického priemeru a pomáha nám určiť polohy ťažísk zložitejších telies.

Pohyb ťažiska[upraviť | upraviť zdroj]

Poloha ťažiska spĺňa rovnicu:

\vec{T} = \frac{\sum m_i \vec{r_i}}{M}

Derivovaním oboch strán rovnice podľa času dostávame:

\vec{v} = \frac{\sum m_i \vec{v_i}}{M}
\vec{a} = \frac{\sum m_i \vec{a_i}}{M}

S využitím odvodených rovníc je možné odvodiť, že ťažisko sústavy sa pohybuje, ako keby v ňom bola sústredená celá hmotnosť sústavy a pôsobili v ňom všetky sily pôsobiace na sústavu. Odvodenie nájdete v článku o sile.

Kde \vec{v_i}, \vec{a_i} sú rýchlosti a zrýchlenia jednotlivých bodov a \vec{v}, \vec{a} je rýchlosť a zrýchlenie ťažiska.

Pôsobisko gravitačnej a zotrvačnej sily v homogénnom poli[upraviť | upraviť zdroj]

Na všetky body telesa pôsobia gravitačná aj zotrvačná sila v rovnakom smere a ich veľkosť je úmerná hmotnosti daného bodu. Ide teda o skladanie rovnobežných síl a pôsobisko výslednice dostaneme v bode:

\vec{R} = \frac{\sum \vec{F_i} \vec{r_i}}{\vec{F}}

Kde \vec{F} = \sum \vec{F_i}. Keďže sú však sily pôsobiace na jednotlivé elementy tuhého telesa úmerné ich hmotnostiam, prejde rovnica do tvaru:

\vec{R} = \frac{\sum m_i \vec{r_i}}{M}

Čo je rovnica ťažiska. V homogénnom poli môžeme gravitačné a zotrvačné sily pôsobiace na jednotlivé elementy tuhého telesa nahradiť jednou silou, ktorej veľkosť bude úmerná celkovej hmotnosti telesa a pôsobisko bude mať v ťažisku.