Absolútna hodnota (reálne a komplexné číslo)

z Wikipédie, slobodnej encyklopédie
Prejsť na: navigácia, hľadanie

Absolútna hodnota reálneho čísla x je hodnota x s odstráneným znamienkom. Takže napríklad 3 je absolútnou hodnotou čísla 3, ale aj -3. V matematike sa absolútna hodnota zapisuje ako y = |x|.[1] V informatike a v matematike pri použití absolútnej hodnoty ako funkcie je bežnejší zápis y=	\mbox{abs}(x). Z geometrického pohľadu je možné definovať absolútnu hodnotu ako vzdialenosť bodu a od nuly. Pri takomto pohľade vyplynie i definícia absolútnej hodnoty komplexného čisla.

Reálne čísla[upraviť | upraviť zdroj]

Pre každé reálne číslo a je jeho absolútna hodnota |a| rovná:[1]

|a| = \begin{cases} a, & \mbox{ak }  a \ge 0  \\ -a,  & \mbox{ak } a < 0 \end{cases}

Ako je možné z uvedenej definície vidieť, absolútna hodnota bude vždy kladná alebo nulová, nikdy záporná.

Z geometrického pohľadu je možné definovať absolútnu hodnotu ako vzdialenosť bodu a na reálnej osi od nuly, alebo všeobecnejšie absolútna hodnota rozdielu dvoch reálnych čísel je vzdialenosť medzi nimi.

Absolútna hodnota má nasledujúce vlastnosti:

  1. |a| \ge 0
  2. |a| = \max \left \{ -a, a \right \} \,
  3. |a| = \left|-a\right| \,
  4. |a| = \sqrt{a^2}
  5. |ab| = |a|.|b| \,
  6. \left|a^n\right| = {|a|}^n \, (pre každé prirodzené n)
  7. \bigg|\frac{a}{b}\bigg| = \frac{|a|}{|b|} (ak b \neq 0)
  8. |a+b| \le |a| + |b| (trojuholníková nerovnosť)
  9. |a-b| \ge \Big||a| -|b|\Big|
  10. |a| \le b \iff -b \le a \le b
  11. |a| \ge b \iff a \le -b \lor b \le a

Komplexné čísla[upraviť | upraviť zdroj]

Pretože komplexné čísla netvoria usporiadanie, predchádzajúca definícia nemôže byť priamo zovšeobecnená aj na ne. Avšak vďaka tomu že platí

|a| = \sqrt{a^2}

je možné formulovať nasledujúcu definíciu. Pre každé komplexné číslo

z = x + iy\,

je jeho absolútna hodnota |z| rovná

|z| =  \sqrt{x^2 + y^2}. [1]

Referencie[upraviť | upraviť zdroj]

  1. a b c Encyklopedický ústav SAV. Encyclopaedia Beliana (A-Belk). I. vyd. Banská Bystrica : Veda, vydavateľstvo SAV a Stredoslovenské vydavateľstvo, a. s., 1999. 1. z 12 zv. (696 s.) ISBN 80-224-0554-X. číslo publikácie 3259. Kapitola A, s. 30.