Banachova veta o pevnom bode

Banachova veta o pevnom bode, pomenovaná podľa Stefana Banacha a známa aj ako veta o kontrakcii, je veta matematickej analýzy, ktorá hovorí, že pre každé kontraktívne zobrazenie v úplnom metrickom priestore existuje práve jeden pevný bod.

Definície

Pevný bod

Nech $f: X \to X$ je zobrazenie. Bod $x \in X$ nazveme pevným bodom zobrazenia f, ak $f(x) = x \,$.

Kontraktívne zobrazenie

Nech $(X,d)\,$ je metrický priestor, nech $A \subseteq X\,$. Nech $f: A \to A$ je zobrazenie. Zobrazenie f nazývame kontraktívne zobrazenie alebo kontrakcia, ak existuje reálna konštanta L, $0 < L < 1$ taká, že pre všetky $x_1, x_2 \in A$ platí

$d(f(x_1),f(x_2)) \leq L \cdot d(x_1,x_2).$

Inými slovami, zobrazenie f je kontraktívne vtedy a len vtedy, keď spĺňa Lipschitzovu podmienku pre $0 < L < 1$.

Znenie vety

Nech $(X,d)\,$ je úplný metrický priestor. Nech $f: X \to X$ je kontraktívne zobrazenie. Potom f má práve jeden pevný bod $u = f(u)$. Navyše, pre každé $x \in X$ platí $f^n(x) \to u$ pre $n \to \infty$ (symbol $f^n\,$ označuje n-tú iteráciu zobrazenia f), pričom pre rýchlosť konvergencie platí $d(u,f^n(x)) \leq L^n \cdot d(u,x)$.

Dôkaz

Existencia pevného bodu

Z kontraktívnosti zobrazenia f možno matematickou indukciou dokázať, že platí

$d(f^n(x),f^{n+1}(x)) \leq L^n \cdot d(x,f(x)).$

Z toho vyplýva, že pre všetky prirodzené čísla n,k platí

$d(f^n(x),f^{n+k}(x)) \leq \sum_{i=n}^{n+k-1}d(f^{n+i}(x),f^{n+i+1}(x)) \leq \sum_{i=n}^{n+k-1}L^i \cdot d(x,f(x)) \leq \sum_{i=n}^{\infty}L^i \cdot d(x,f(x)) = \frac{L^n}{1-L} \cdot d(x,f(x)).$

Keďže

$\lim_{n \to \infty} \frac{L^n}{1-L} \cdot d(x,f(x)) = 0,$

je postupnosť $\{f^n(x)\}_{n=0}^{\infty}$ fundamentálna. Z úplnosti metrického priestoru $(X,d)\,$ potom plynie, že existuje limita tejto postupnosti. Označme túto limitu u. Potom platí

$f(u) = f(\lim_{n \to \infty} f^n(x)) = \lim_{n \to \infty} f^{n+1}(x) = \lim_{n \to \infty}f^n(x) = u,$

čiže u je pevný bod zobrazenia f.

Jednoznačnosť pevného bodu

Sporom. Nech $u \neq v$ sú dva rôzne pevné body zobrazenia f. Z kontraktívnosti zobrazenia f:

$0 < d(u,v) = d(f(u),f(v)) \leq L \cdot d(u,v) < d(u,v),$

z čoho $d(u,v) < d(u,v)$, čo je spor.

Rýchlosť konvergencie

Tvrdenie

$d(u,f^n(x)) \leq L^n \cdot d(u,x)$

dokážeme matematickou indukciou:

1. Nech $n = 1$. Potom z kontraktívnosti f:

   $d(u,f^n(x)) = d(u,f(x)) = d(f(u),f(x)) \leq L \cdot d(u,x) = L^n \cdot d(u,x).$

2. Nech tvrdenie platí pre $n = k$. Ukážeme, že platí aj pre $n = k + 1$:

   $d(u,f^{k+1}(x)) = d(f(u),f^{k+1}(x)) \leq L\cdot d(u,f^k(x)) \leq L \cdot L^k \cdot d(u,x) = L^{k+1} \cdot d(u,x).$

Aplikácie

K štandardným aplikáciam Banachovej vety o pevnom bode patria dôkazy niektorých viet o existencii riešení diferenciálnych a integrálnych rovníc, či numerické metódy hľadania koreňov nelineárnych rovníc. Využíva sa však aj vo viacerých ďalších oblastiach, napríklad vo finančnej matematike, či v teórii fraktálov.

Literatúra

• Agrawal, R. P., Meehan, M., O'Regan, D.: Fixed Point Theory and Applications. Cambridge University Press, 2004.
• Švec, M., Šalát, T., Neubrunn, T.: Matematická analýza funkcií reálnej premennej. Alfa, 1987.

Externé odkazy

• Dôkaz Banachovej vety o pevnom bode na Bourbawiki (po anglicky).
• Banach Fixed Point Theorem (po anglicky).
• Článok o Banachovej vete o pevnom bode na PlanetMath (po anglicky).