Banachova veta o pevnom bode

Banachova veta o pevnom bode, pomenovaná podľa Stefana Banacha a známa aj ako veta o kontrakcii, je veta matematickej analýzy, ktorá hovorí, že pre každé kontraktívne zobrazenie v úplnom metrickom priestore existuje práve jeden pevný bod.

Definície

Pevný bod

Nech $f:X\to X$ je zobrazenie. Bod $x\in X$ nazveme pevným bodom zobrazenia f, ak $f(x)=x\,$.

Kontraktívne zobrazenie

Nech $(X,d)\,$ je metrický priestor, nech $A\subseteq X\,$. Nech $f:A\to A$ je zobrazenie. Zobrazenie f nazývame kontraktívne zobrazenie alebo kontrakcia, ak existuje reálna konštanta L, $0<L<1$ taká, že pre všetky $x_{1},x_{2}\in A$ platí

$d(f(x_{1}),f(x_{2}))\leq L\cdot d(x_{1},x_{2}).$

Inými slovami, zobrazenie f je kontraktívne vtedy a len vtedy, keď spĺňa Lipschitzovu podmienku pre $0<L<1$.

Znenie vety

Nech $(X,d)\,$ je úplný metrický priestor. Nech $f:X\to X$ je kontraktívne zobrazenie. Potom f má práve jeden pevný bod $u=f(u)$. Navyše, pre každé $x\in X$ platí $f^{n}(x)\to u$ pre $n\to \infty$ (symbol $f^{n}\,$ označuje n-tú iteráciu zobrazenia f), pričom pre rýchlosť konvergencie platí $d(u,f^{n}(x))\leq L^{n}\cdot d(u,x)$.

Dôkaz

Existencia pevného bodu

Z kontraktívnosti zobrazenia f možno matematickou indukciou dokázať, že platí

$d(f^{n}(x),f^{n+1}(x))\leq L^{n}\cdot d(x,f(x)).$

Z toho vyplýva, že pre všetky prirodzené čísla n,k platí

$d(f^{n}(x),f^{n+k}(x))\leq \sum _{i=n}^{n+k-1}d(f^{n+i}(x),f^{n+i+1}(x))\leq \sum _{i=n}^{n+k-1}L^{i}\cdot d(x,f(x))\leq \sum _{i=n}^{\infty }L^{i}\cdot d(x,f(x))={\frac {L^{n}}{1-L}}\cdot d(x,f(x)).$

Keďže

$\lim _{n\to \infty }{\frac {L^{n}}{1-L}}\cdot d(x,f(x))=0,$

je postupnosť $\{f^{n}(x)\}_{n=0}^{\infty }$ fundamentálna. Z úplnosti metrického priestoru $(X,d)\,$ potom plynie, že existuje limita tejto postupnosti. Označme túto limitu u. Potom platí

$f(u)=f(\lim _{n\to \infty }f^{n}(x))=\lim _{n\to \infty }f^{n+1}(x)=\lim _{n\to \infty }f^{n}(x)=u,$

čiže u je pevný bod zobrazenia f.

Jednoznačnosť pevného bodu

Sporom. Nech $u\neq v$ sú dva rôzne pevné body zobrazenia f. Z kontraktívnosti zobrazenia f:

$0<d(u,v)=d(f(u),f(v))\leq L\cdot d(u,v)<d(u,v),$

z čoho $d(u,v)<d(u,v)$, čo je spor.

Rýchlosť konvergencie

Tvrdenie

$d(u,f^{n}(x))\leq L^{n}\cdot d(u,x)$

dokážeme matematickou indukciou:

1. Nech $n=1$. Potom z kontraktívnosti f:

   $d(u,f^{n}(x))=d(u,f(x))=d(f(u),f(x))\leq L\cdot d(u,x)=L^{n}\cdot d(u,x).$

2. Nech tvrdenie platí pre $n=k$. Ukážeme, že platí aj pre $n=k+1$:

   $d(u,f^{k+1}(x))=d(f(u),f^{k+1}(x))\leq L\cdot d(u,f^{k}(x))\leq L\cdot L^{k}\cdot d(u,x)=L^{k+1}\cdot d(u,x).$

Aplikácie

K štandardným aplikáciam Banachovej vety o pevnom bode patria dôkazy niektorých viet o existencii riešení diferenciálnych a integrálnych rovníc, či numerické metódy hľadania koreňov nelineárnych rovníc. Využíva sa však aj vo viacerých ďalších oblastiach, napríklad vo finančnej matematike, či v teórii fraktálov.

Literatúra

• Agrawal, R. P., Meehan, M., O'Regan, D.: Fixed Point Theory and Applications. Cambridge University Press, 2004.
• Švec, M., Šalát, T., Neubrunn, T.: Matematická analýza funkcií reálnej premennej. Alfa, 1987.

Externé odkazy

• Dôkaz Banachovej vety o pevnom bode Archivované 2012-02-16 na Wayback Machine na Bourbawiki (po anglicky).
• Banach Fixed Point Theorem^{[nefunkčný odkaz]} (po anglicky).
• Článok o Banachovej vete o pevnom bode na PlanetMath (po anglicky).