Bernoulliho nerovnosť

Bernoulliho nerovnosť je využívaná pri dokazovaní zložitejších matematických viet. Samotná nerovnosť má tvar

$(1+x)^n\geq 1+nx\,;\quad n\in\mathbb{N}, x\in(-1;+\infty)$

Dôkaz

Dôkaz Bernoulliho nerovnosti nie je zložitý, vyžaduje základy dokazovania matematickou indukciou. V prvom kroku sa overí platnosť pre prvé prirodzené číslo $n=1$. Dostaneme $1+x=1+x$ čo je zrejme pravda. Indukčný predpoklad je teda platnosť

$(\,\text{i}\,)\qquad(1+x)^k\geq1+kx$

po splnení horeuvedených podmienok. V druhom kroku sa snažíme z pravdivosti (i) odvodiť platnosť

$(\,\text{ii}\,)\qquad(1+x)^{k+1}\geq1+(k+1)x$

Tvar nerovnosti (ii) možno prepísať na tvar

$(1+x)^k\geq\frac{1+kx+x}{1+x}$

Teraz je potrebné dokázať, že platí

$1+kx\geq\frac{1+kx+x}{1+x}$

Po úprave dospejeme na tvar $kx^2\geq0$ odkiaľ už vidno, že pôvodná nerovnosť platí.

Použitie nerovnosti pri dôkazoch

Príkladom, môže byť dôkaz o existencií limity postupnosti

$\left\{\left(\frac{n+1}{n}\right)^n\right\}_{n=1}^{\infty}$

pričom treba dokázať ohraničenosť a monotónnosť tejto postupnosti.