Bernoulliho nerovnosť

z Wikipédie, slobodnej encyklopédie
Prejsť na: navigácia, hľadanie

Bernoulliho nerovnosť je využívaná pri dokazovaní zložitejších matematických viet. Samotná nerovnosť má tvar

(1+x)^n\geq 1+nx\,;\quad n\in\mathbb{N}, x\in(-1;+\infty)

Dôkaz[upraviť | upraviť zdroj]

Dôkaz Bernoulliho nerovnosti nie je zložitý, vyžaduje základy dokazovania matematickou indukciou. V prvom kroku sa overí platnosť pre prvé prirodzené číslo n=1. Dostaneme 1+x=1+x čo je zrejme pravda. Indukčný predpoklad je teda platnosť

(\,\text{i}\,)\qquad(1+x)^k\geq1+kx

po splnení horeuvedených podmienok. V druhom kroku sa snažíme z pravdivosti (i) odvodiť platnosť

(\,\text{ii}\,)\qquad(1+x)^{k+1}\geq1+(k+1)x

Tvar nerovnosti (ii) možno prepísať na tvar

(1+x)^k\geq\frac{1+kx+x}{1+x}

Teraz je potrebné dokázať, že platí

1+kx\geq\frac{1+kx+x}{1+x}

Po úprave dospejeme na tvar kx^2\geq0 odkiaľ už vidno, že pôvodná nerovnosť platí.

Použitie nerovnosti pri dôkazoch[upraviť | upraviť zdroj]

Príkladom, môže byť dôkaz o existencií limity postupnosti

\left\{\left(\frac{n+1}{n}\right)^n\right\}_{n=1}^{\infty}

pričom treba dokázať ohraničenosť a monotónnosť tejto postupnosti.