Bilineárna forma

Bilineárna forma alebo bilineárny funkcionál dvoch premenných je v matematike ľubovoľné zobrazenie z množinovej druhej mocniny daného vektorového priestoru do poľa jeho skalárov, ktoré je lineárne v oboch zložkách. Inými slovami, ide o ľubovoľné bilineárne zobrazenie na danom vektorovom priestore do množiny jeho skalárov.

Definícia

Nech V je vektorový priestor nad poľom F. Bilineárna forma na V je zobrazenie $B: V \times V \to F$ také, že platí:

1. $\forall x,y,z \in V: B(x + y,z) = B(x,z) + B(y,z),$
2. $\forall x,y \in V \forall \alpha \in F: B(\alpha \cdot x,y) = \alpha B(x,y),$
3. $\forall x,y,z \in V: B(x,y + z) = B(x,y) + B(x,z),$
4. $\forall x,y \in V \forall \alpha \in F: B(x,\alpha \cdot y) = \alpha B(x,y).$

To znamená, že B musí byť v každej svojej zložke lineárne zobrazenie. Oproti definícii bilineárneho zobrazenia sa definícia bilineárnej formy líši tým, že jej obor hodnôt musí byť podmnožinou poľa F.

Druhy bilineárnych foriem

Medzi základné špeciálne druhy bilineárnych foriem patria:

• Symetrické bilineárne formy, pre ktoré navyše platí $\forall x,y \in V: B(x,y) = B(y,x).$
• Antisymetrické bilineárne formy, pre ktoré navyše platí $\forall x,y \in V: B(x,y) = -B(y,x).$
• Alternujúce bilineárne formy, pre ktoré navyše platí $\forall x \in V: B(x,x) = 0.$

Dá sa dokázať, že každá alternujúca bilineárna forma je antisymetrická. Ak má pole F charakteristiku rôznu od 2, je aj každá antisymetrická forma alternujúca.

Pozri aj

• Lineárna forma
• Kvadratická forma

Literatúra

• Shapirov, R. A.: Course of Linear Algebra and Multidimensional Geometry. Bashkir State University - Ufa, 1996.
• Vopěnka, P.: Analytická geometrie druhé generace. Univerzita Jana Evangelisty Purkyně v Ústí nad Labem, 1998.

Externé odkazy

• Definícia bilineárnej formy - MathWorld (po anglicky).
• Článok o bilineárnych formách - PlanetMath (po anglicky).