Binárna operácia

Binárna operácia alebo dvojmiestna operácia alebo dvojprvková operácia alebo dvojčlenná operácia je úkon v matematike, ktorým sa ku každej usporiadanej dvojici prvkov (napríklad dvojici čísiel) z nejakej množiny (ľubovoľným spôsobom) priraďuje jediný tretí prvok (napríklad ďalšie číslo) z tej istej množiny. Ak existuje taký predpis, hovoríme, že na danej množine máme definovanú binárnu operáciu. Binárna operácia je jeden z najdôležitejších pojmov algebry.

Matematicky vyjadrené binárnou operáciou $\varphi$ na množine M rozumieme ľubovoľné zobrazenie $\varphi :M\times M\to M$.

Je užitočné si všimnúť, že z tejto definície vyplývajú dva dôležité fakty:

• každá operácia je "uzavretá", teda $\forall a,b\in M:\varphi (a,b)\in M$,
• výsledok operácie je definovaný pre každú usporiadanú dvojicu na $M^{2}$, teda $\forall a,b\in M\exists c\in M:\varphi (a,b)=c$.

Ešte raz upozorňujeme, že tieto dva body nie sú súčasťou definície binárnej operácie a vyplývajú z toho, že $\varphi$ je zobrazenie.

Príklady

Binárnymi operáciami sú také základné operácie ako sčítanie na celých číslach (dvom sčítavaným číslam sa priraďuje tretie - ich súčet), operácia násobenia na racionálnych či reálnych číslach (dvom násobeným číslam sa priraďuje tretie - ich násobok). Delenie na racionálnych či reálnych číslach však nie je binárnou operáciou, pretože delenie nulou nie je definované, inak by bola definícia binárnej operácie aj pri delení splnená.

Vlastnosti binárnych operácií

V ďalšom texte budeme uvažovať binárnu operáciu $\circ$ definovanú na množine M.

Hovoríme, že $e$ je neutrálnym prvkom binárnej operácie $\circ$ na množine M, ak platí $\forall a\in M:a\circ e=e\circ a=a$.

V poliach sa neutrálnemu prvku aditívnej operácie hovorí nula a neutrálnemu prvku multiplikatívnej operácie jednotka.

Ľahko sa ukáže, že každá binárna operácia môže mať nanajvýš jeden neutrálny prvok.

Binárna operácia $\circ$ na množine M sa nazýva asociatívna, ak $\forall a,b,c\in M:(a\circ b)\circ c=a\circ (b\circ c)$.

Príklad: Operácie sčítania a násobenia celých alebo reálnych čísel sú asociatívne operácie. Odčítanie na týchto množinách nie je asociatívne.

Matematickou indukciou sa ľahko dokáže rozšírenie, že pri asociatívych operáciach nezáleží na poradí uzátvorkovania viacerých činiteľov.

Nech $e\in M$ je neutrálny prvok operácie $\circ$. Hovoríme, že prvok $b\in M$ je inverzný k prvku $a\in M$, ak $a\circ b=b\circ a=e$.

Pre ľubovoľnú asociatívnu binárnu operáciu s neutrálnym prvkom platí, že ku každému prvku existuje najviac jeden inverzný prvok.

Externé odkazy

• http://thales.doa.fmph.uniba.sk/zlatos/la/LAG_A4.pdf Binárna operácia