Boolova algebra

z Wikipédie, slobodnej encyklopédie
Prejsť na: navigácia, hľadanie

Boolova algebra je algebraická štruktúra, ktorá modeluje vlastnosti množinových a logických operácií. Je nazvaná podľa írského matematika George Boolea.

Boolova algebra je abstraktný formálny systém obsahujúci množinu prvkov (a, b, c, ...), nad ktorou sú definované dve binárne operácie symbolizované pomocou znakov \lor a \land. Boolova algebra je komplementárny a distributívny zväz pomenovaný podľa Georgea Boolea (1815 – 1864). Boolova algebra je zvláštnym prípadom štruktúry zvanej zväz.

Boolova algebra má interpretácie v rôznych vedných disciplínach, napríklad:

Boolova algebra množinová algebra výroková algebra (logika)
a, b, c, ... prvky

\lor
A, B, C, ... podmnožiny
množiny I
U (zjednotenie)
p, q, r, ... výroky
množiny U
\/ (disjunkcia)
\land (prienik) /\ (konjunkcia)
a \lor b = b \lor a A U B = B U A p \/ q = q \/ p

Definícia[upraviť | upraviť zdroj]

Boolova algebra je definovaná ako distributívny komplementárny zväz.

Boolova algebra je šestica (A, ∧, ∨, −, 0, 1), kde A je neprázdna množina, 0 ∈ A je najmenší, 1 ∈ A najväčší prvok, − je unárna operácia (komplement) a ∧, ∨ sú binárne operácie (priesečník, spojenie) na A, spĺňajúce nasledujúce axiómy.

Komutativita:  x \lor y = y \lor x  x \land  y = y \land x
Distributivita:  x \lor  (y \land z) = (x \lor y) \land (x \lor z)  x \land  (y \lor z) = (x \land y) \lor (x \land z)
Neutralita 0 a 1: x \or 0 = x x \and 1 = x
Komplementarita:  x \lor  -x = 1  x \land -x = 0
Nedegenerovanosť: 0\neq 1

Vlastnosti[upraviť | upraviť zdroj]

Pre Boolovu algebru A a každé x, y, zA platí:

  • asociativita: (xy) ∨ z = x ∨ (yz), (xy) ∧ z = x ∧ (yz)
  • absorpcia: x ∨ (xy) = x, x ∧ (xy) = x
  • agresivita nuly: x ∧ 0 = 0
  • agresivita jedničky: x ∨ 1 = 1
  • idempotencia: xx = x, xx = x
  • absorpcia negácie: x ∨ (−xy) = xy, x ∧ (−xy) = xy
  • dvojitá negácia: −(−x) = x
  • De Morganove zákony: −x ∧ −y = −(xy), −x ∨ −y = −(xy)
  • 0 a 1 sú vzájomne komplementárne: −0 = 1, −1 = 0

Označovanie[upraviť | upraviť zdroj]

Existujú najmenej tri najznámejšie tradície v označovaní v teórii Boolovej algebry. Vo vyššie použitej definícii sú použité symboly \lor,\land,\lnot, ale bežne sú používané tiež \cup,\cap,\sim, a na bežné použitie tiež +,\cdot,-. Symboly dvojargumentovýh operácií Boolovej algebry sú takmer vždy výberom jedného z páru (+,\cdot), (\lor,\land) alebo (\cup,\cap). Označenie operácií jednoargumentowej algebry je menej, v dôsledku toho sa môžeme stretnúť ako so symbolmi +,\cdot,\sim tak aj \lor,\land,{}^\prime.

Symboly \wedge,\vee sa často používajú v súvislosti algebraickými teóriami.

Stretávame sa aj s použitím iných symbolov resp. ich kombinácií (na príklad  &  na miesto  \cap,  alebo  a^\prime  namiesto  \;\sim a. V oblasti elektroniky a informačných technológií je často používaný ako OR, AND resp. NOT  na mieste  \cup, \cap resp. \sim.

Príklady[upraviť | upraviť zdroj]

  • Najjednoduchšia Boolova algebra obsahuje len jeden prvok, alebo 0 = 1 (tu nejde o spor, ale o dvojité označovanie jedného prvku). Všetky operácie dávajú rovnaký výsledok (iné tu ani neexistujú), preto sa nazýva triviálne. Táto algebra samozrejme môže existovať jedine vtedy, keď sa vypustí Axiom nedegenerovanosti.
  • Duálna algebra je algebra nad množinou A= (0, 1), kde operácie sú dané prirodzeným spôsobom.

Používané Boolové algebry[upraviť | upraviť zdroj]

Najvýznamnejšími príkladmi Boolových algebier sú algebry výrokov (alebo všeobecnejšie Lindenbaumovej algebry formulí) a množinové algebry.

  • U algebier výrokov v dvojhodnotovej logike je A= (nepravda, pravda), 0 = nepravda, 1 = pravda, a operácie zodpovedajú disjunkcii, konjunkcii a negácii.
Konjunkcia
\wedge 0 1
0 0 0
1 0 1
 
Disjunkcia
\lor 0 1
0 0 1
1 1 1
 
Negácia
  \neg
0 1
1 0

Pozri aj[upraviť | upraviť zdroj]