Cauchyho-Schwarzova nerovnosť

z Wikipédie, slobodnej encyklopédie
Prejsť na: navigácia, hľadanie

Cauchyho-Schwarzova nerovnosť, známa aj ako Buňakovského nerovnosť alebo Cauchyho-Buňakovského nerovnosť alebo Schwarzova nerovnosť alebo Cauchyho-Buňakovského-Schwarzova nerovnosť, je matematická nerovnosť pochádzajúca z oblasti lineárnej algebry, ktorá má širokú škálu aplikácii napríklad v matematickej analýze, či teórii pravdepodobnosti. Všeobecná formulácia Heisenbergovho princípu neurčitosti je odvodená na základe Cauchyho-Schwarzovej nerovnosti v Hilbertovom priestore čístých kvantových stavov.

Znenie nerovnosti[upraviť | upraviť zdroj]

Nech x a y sú vektory daného unitárneho priestoru nech \langle x,y\rangle označuje skalárny súčin vektorov x a y v danom unitárnom priestore. Potom Cauchyho-Schwarzova nerovnosť hovorí, že

| \langle x,y\rangle|^2 \leq \langle x,x\rangle \cdot \langle y,y\rangle.

Odmocnením oboch strán nerovnosti (skalárny súčin je vždy nezáporný) môžme dostať ekvivalentný tvar Cauchyho-Schwarzovej nerovnosti:

 | \langle x,y\rangle| \leq \|x\| \cdot \|y\|,\,

kde \|x\| je norma vektora x.

Dôležité špeciálne prípady[upraviť | upraviť zdroj]

Asi najčastejšie využívaným špeciálnym tvarom Cauchyho-Schwarzovej nerovnosti je jej formulácia pre euklidovský priestor \mathbb{R}^n. V takomto prípade dostávame

\left(\sum_{i=1}^n x_i y_i\right)^2\leq \left(\sum_{i=1}^n x_i^2\right) \left(\sum_{i=1}^n y_i^2\right),

čo býva niekedy označované ako diskrétny tvar Cauchyho-Schwarzovej nerovnosti.

Ďalej, relatívne často používaným špeciálnym prípadom je priestor L^2, v ktorom má nerovnosť tvar

\left|\int f(x) g(x)\,dx\right|^2\leq\int \left|f(x)\right|^2\,dx \cdot \int\left|g(x)\right|^2\,dx,

čo býva označované aj ako spojitý tvar Cauchyho-Schwarzovej nerovnosti.

Externé odkazy[upraviť | upraviť zdroj]