Cauchyho-Schwarzova nerovnosť

Cauchyho-Schwarzova nerovnosť, známa aj ako Buňakovského nerovnosť alebo Cauchyho-Buňakovského nerovnosť alebo Schwarzova nerovnosť alebo Cauchyho-Buňakovského-Schwarzova nerovnosť, je matematická nerovnosť pochádzajúca z oblasti lineárnej algebry, ktorá má širokú škálu aplikácii napríklad v matematickej analýze, či teórii pravdepodobnosti. Všeobecná formulácia Heisenbergovho princípu neurčitosti je odvodená na základe Cauchyho-Schwarzovej nerovnosti v Hilbertovom priestore čístých kvantových stavov.

Znenie nerovnosti

Nech x a y sú vektory daného unitárneho priestoru nech $\langle x,y\rangle$ označuje skalárny súčin vektorov x a y v danom unitárnom priestore. Potom Cauchyho-Schwarzova nerovnosť hovorí, že

$| \langle x,y\rangle|^2 \leq \langle x,x\rangle \cdot \langle y,y\rangle.$

Odmocnením oboch strán nerovnosti (skalárny súčin je vždy nezáporný) môžme dostať ekvivalentný tvar Cauchyho-Schwarzovej nerovnosti:

$| \langle x,y\rangle| \leq \|x\| \cdot \|y\|,\,$

kde $\|x\|$ je norma vektora x.

Dôležité špeciálne prípady

Asi najčastejšie využívaným špeciálnym tvarom Cauchyho-Schwarzovej nerovnosti je jej formulácia pre euklidovský priestor $\mathbb{R}^n$. V takomto prípade dostávame

$\left(\sum_{i=1}^n x_i y_i\right)^2\leq \left(\sum_{i=1}^n x_i^2\right) \left(\sum_{i=1}^n y_i^2\right),$

čo býva niekedy označované ako diskrétny tvar Cauchyho-Schwarzovej nerovnosti.

Ďalej, relatívne často používaným špeciálnym prípadom je priestor $L^2$, v ktorom má nerovnosť tvar

$\left|\int f(x) g(x)\,dx\right|^2\leq\int \left|f(x)\right|^2\,dx \cdot \int\left|g(x)\right|^2\,dx,$

čo býva označované aj ako spojitý tvar Cauchyho-Schwarzovej nerovnosti.

Externé odkazy

• Článok o Cauchyho-Schwarzovej nerovnosti na PlanetMath (po anglicky)
• Článok o nerovnosti na Wolfram MathWorld (po anglicky)