Χ²-rozdelenie

$\chi ^{2}$-rozdelenie (iné názvy: $\chi ^{2}$-rozdelenie pravdepodobnosti, chí-kvadrát rozdelenie (pravdepodobnosti), rozdelenie (pravdepodobnosti) $\chi ^{2}$, rozdelenie (pravdepodobnosti) chí-kvadrát, rozdelenie (pravdepodobnosti) štvorca chí, Helmertovo-Pearsonovo rozdelenie (pravdepodobnosti)) je v teórii pravdepodobnosti a matematickej štatistike rozdelenie pravdepodobnosti. Je to špeciálny prípad gama rozdelenia.

$\chi ^{2}$ rozdelenie má v matematickej štatistike veľmi významné postavenie a využitie. Najčastejšie sa používa pri určovaní odhadov a intervalových odhadov neznámych parametrov a pri testovaní štatistických hypotéz. Pri tomto testovaní sa využívajú kritické hodnoty $\chi ^{2}$-rozdelenia, ktoré sú tabelované a na základe nich vieme testovanú štatistickú hypotézu prijať alebo zamietnuť.

Definícia

Nech $X$ je náhodná premenná a nech $n$ je prirodzené číslo. Hovoríme, že náhodná premenná $X$ má $\chi ^{2}$-rozdelenie s $n$ stupňami voľnosti, ak jej hustota pravdepodobnosti má nasledovný tvar:

$f_{n}(x)={\begin{cases}{\frac {1}{2^{\frac {n}{2}}\Gamma ({\frac {n}{2}})}}x^{{\frac {n}{2}}-1}e^{-{\frac {x}{2}}}&\mathrm {pre} \ x>0\\0&\mathrm {pre} \ x\leq 0\end{cases}}$

kde označenie $\Gamma (\alpha )$ označuje gama funkciu (ktorá sa tiež nazýva aj Eulerov integrál druhého druhu) a je definovaná nasledovne:

$\operatorname {\Gamma } (\alpha )=\int _{0}^{\infty }e^{-x}x^{\alpha -1}\mathrm {d} x$

Označenie:

• $\operatorname {X} \sim \chi ^{2}(n)$
• $\operatorname {X} \sim \chi _{n}^{2}$

Ďalšie vyjadrenia a vzťahy

Pokiaľ máme náhodnú premennú $X$, ktorá má normované normálne rozdelenie, teda $X\sim N(0,1)$, tak náhodná premenná $Y=X^{2}$ má $\chi ^{2}$-rozdelenie s 1 stupňom voľnosti, teda $Y\sim \chi ^{2}(1)$.

Toto tvrdenie platí analogicky aj pokiaľ máme $k$ nezávislých náhodných premenných $X_{1},...,X_{k}$, pričom každá z týchto premenných má normované normálne rozdelenie, teda $X_{j}\sim N(0,1)$ pre $j=1,...,k$. Potom nasledovná náhodná premenná:

$X=\sum _{j=1}^{k}X_{j}^{2}$

má $\chi ^{2}$-rozdelenie s $k$ stupňami voľnosti, teda $X\sim \chi ^{2}(k)$.

Vlastnosti

Začiatočné momenty tohto rozdelenia môžeme vyjadriť pomocou všeobecného vzťahu nasledovne:

$\mu _{r}={\frac {2^{r}\Gamma (r+{\frac {n}{2}})}{\Gamma ({\frac {n}{2}})}}$

Teda z tohto vzťahu dostaneme nasledovné vyjadrenia pre strednú hodnotu a disperziu premennej $X$:

• $\operatorname {E} (X)=n$
• $\operatorname {D} (X)=2n$

Koeficient šikmosti má nasledovné vyjadrenie:

$\gamma _{1}={\frac {2}{\sqrt {\frac {n}{2}}}}$

Pre koeficient špicatosti dostaneme:

$\gamma _{2}={\frac {12}{n}}$

Distribučná funkcia tohto rozdelenia má nasledovný tvar:

$F_{X}(x)={\frac {1}{2^{\frac {n}{2}}\Gamma ({\frac {n}{2}})}}\int _{0}^{x}t^{{\frac {n}{2}}-1}e^{-{\frac {t}{2}}}\mathrm {d} t$

Graf hustoty tohto rozdelenia je pre malé hodnoty parametra $n$ nesymetrický, no pre veľké hodnoty tohto parametra je hustota premennej tvaru:

${\frac {X-E(X)}{\sqrt {D(X)}}}={\frac {X-n}{\sqrt {2n}}}$

čoraz viac symetrickejšia a pre hodnoty parametra $n$ väčšie ako 30 ju môžeme aproximovať hustotou normálneho normovaného rozdelenia N(0, 1).

Kritické hodnoty

Kritické hodnoty sa využívajú pri testovaní štatistických hypotéz a pre toto rozdelenie sú tabelované. Kritickú hodnotu môžeme zadefinovať nasledovne:

Nech $X$ je náhodná premenná s $\chi ^{2}$ rozdelením s $n$ stupňami voľnosti. Potom hodnoty $\operatorname {\chi } ^{2}(n,\alpha )$, ktoré náhodná premenná $X$ presiahne so zvolenou pravdepodobnosťou $\alpha$ nazývame kritické hodnoty $\chi ^{2}$-rozdelenia. Matematicky zapísané:

$P(X>\chi ^{2}(n,\alpha ))=\int _{\chi ^{2}(n,\alpha )}^{\infty }f_{n}(x)\mathrm {d} x=\alpha$

Zdroje

• RIEČAN, Beloslav; LAMOŠ, František; LENÁRT, Cyril. Pravdepodobnosť a matematická štatistika. Bratislava : ALFA – vydavateľstvo technickej a ekonomickej literatúry Bratislava, 1984. Kapitola Popisná štatistika a výberové metódy – Výber z normálneho rozdelenia, s. 320.
• LAMOŠ, František; POTOCKÝ, Rastislav. Pravdepodobnosť a matematická štatistika - Štatistické analýzy. Bratislava : Vydavateľstvo Univerzity Komenského v Bratislave, 1998. ISBN 80-223-1262-2. Kapitola Niektoré typy rozdelenia pravdepodobnosti, s. 344 strán.
• JANKOVÁ, Katarína; PÁZMAN, Andrej. Pravdepodobnosť a štatistika. Bratislava : Vydavateľstvo UK, 2011. ISBN 978-80-223-2931-6. Kapitola Dôležité rozdelenia odvodené od normálneho, s. 150.
• ZVÁRA, Karel; ŠTĚPÁN, Josef. Pravděpodobnost a matematická statistika. Bratislava : VEDA - vydavateľstvo Slovenskej akadémie vied, 2002. ISBN 80-2240736-4. S. 230. (čeština)
• BARNOVSKÁ, Mária, kol. Cvičenia z matematickej analýzy III.. [s.l.] : MFF UK, 2005. Dostupné online. Kapitola Parametrické integrály – Eulerove integrály, s. 156.
• POTOCKÝ, Rastislav, kolektív Zbierka úloh z pravdepodobnosti a matematickej štatistiky. Bratislava : Vydavateľstvo Alfa, 1991. ISBN 80-05-00524-5. Kapitola Náhodné premenné, s. 388.