Cyklometrická funkcia

Cyklometrická funkcia je matematická funkcia inverzná ku funkciám goniometrickým.

Definícia

Medzi cyklometrické funkcie patria:

• Arkus sínus ($arcsin$)
• Arkus kosínus ($arccos$)
• Arkus tangens ($arctg$)
• Arkus kotangens ($arccotg$)

Aby mohla k ľubovoľnej funkcii existovať inverzná funkcia, daná funkcia musí byť prostá, to znamená: rôznym dvom prvkom musí priraďovať dve rôzne hodnoty. Goniometrické funkcie sú ale periodické, a teda nie sú prosté. Preto ak chceme uvažovať o cyklometrických funkciách musíme najskôr ošetriť ich definičný obor a taktiež aj definičné obory goniometrických funkcií – to znamená, že musíme vybrať len tú podmnožinu definičného oboru danej goniometrickej funkcie, na ktorej je prostá.

Definičné obory cyklometrických a goniometrických funkcií

Goniometrické funkcie	Cyklometrické funkcie
Sínus: $sin(x)$ pre $x \in <- \pi/2; \pi/2>$	Arkus sínus: $arcsin(x)$ pre $x \in <-1; 1>$
Cosínus: $cos(x)$ pre $x \in <0, \pi>$	Arkus cosínus: $arccos(x)$ pre $x \in <-1; 1>$
Tangens: $tg(x)$ pre $x \in (- \pi/2; \pi/2)$	Arkus tangens: $arctg(x)$ pre $x \in R$
Cotangens: $ctg(x)$ pre $x \in (0, \pi)$	Arkus cotangens: $arcctg(x)$ pre $x \in R$

Vzťahy medzi cyklometrickými a goniometrickými funkciami

sin a arcsin

$\mathrm{arcsin}(\mathrm{sin}x)=x\!$, ak platí $\ |x|\leq \frac{\pi}{2}$

$\sin(\mathrm{arcsin}x)=x\!$

cos a arccos

$\mathrm{arccos}(\mathrm{cos}x)=x\!$, ak platí $\ 0 \leq x \leq\pi$

$\cos(\mathrm{arccos}x)=x\!$, ak platí $\ |x|\leq1$

tg a arctg

$\mathrm{arctg}(\mathrm{tg}x)=x\!$, ak platí $\ |x|<\frac{\pi}{2}$

$\mathrm{tg}(\mathrm{arctg}x)=x\!$

cotg a arccotg

$\mathrm{arccotg}(\mathrm{cotg}x)=x\!$, ak platí $\ 0 < x <\pi$

$\mathrm{cotg}(\mathrm{arcotg}x)=x\!$

Vzťahy medzi cyklometrickými funkciami

$\mathrm{arcsin} x = \frac{\pi}{2} - \mathrm{arccos} x = \mathrm{arctg} \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}} = \frac{\pi}{2} - \mathrm{arccotg} \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}}$

$\mathrm{arccos} x = \frac{\pi}{2} - \mathrm{arcsin} x = \frac{\pi}{2} - \mathrm{arctg} \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}} = \mathrm{arccotg} \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}}$

$\mathrm{arctg} x = \mathrm{arcsin} \frac{x}{\sqrt{1 + x^2}} = \frac{\pi}{2} - \mathrm{arccos} \frac{x}{\sqrt{1 + x^2}} = \frac{\pi}{2} - \mathrm{arccotg} x$

$\mathrm{arccotg} x = \frac{\pi}{2} - \mathrm{arcsin} \frac{x}{\sqrt{1 + x^2}} = \mathrm{arccos} \frac{x}{\sqrt{1 + x^2}} = \frac{\pi}{2} - \mathrm{arctg} x$

Pre $x > 0$ platí

$\mathrm{arccotg} x = \mathrm{arctg} \frac{1}{x}$

Pre $x < 0$ platí

$\mathrm{arccotg} x = \pi + \mathrm{arctg} \frac{1}{x}$

Vzťahy medzi cyklometrickými funkciami so vzájomne opačnými argumentmi

$\mathrm{arcsin}(-x) = - \mathrm{arcsin} x \!$

$\mathrm{arccos}(-x) = \pi - \mathrm{arccos} x \!$

$\mathrm{arctg} (-x)= - \mathrm{arctg} x \!$

$\mathrm{arccotg}(-x) = \pi - \mathrm{arccotg}x \!$

Súčty a rozdiely cyklometrických funkcií

arcsin x + arcsin y

$\arcsin x + \arcsin y = \arcsin[x\sqrt{1-y^2} + y\sqrt{1-x^2}],$ ak platí $\ xy \leq 0$ alebo $x^2 + y^2\leq 1$

$\arcsin x + \arcsin y = \pi - \arcsin[x\sqrt{1-y^2} + y\sqrt{1-x^2}],$ ak platí $\ x > 0, y > 0, x^2 + y^2 > 1$

$\arcsin x + \arcsin y = - \pi - \arcsin[x\sqrt{1-y^2} + y\sqrt{1-x^2}],$ ak platí $\ x < 0, y < 0, x^2 + y^2 > 1$

arcsin x - arcsin y

$\arcsin x - \arcsin y = \arcsin[x\sqrt{1-y^2} - y\sqrt{1-x^2}],$ ak platí $\ xy \geq 0$ alebo $x^2 + y^2\leq 1$

$\arcsin x - \arcsin y = \pi - \arcsin[x\sqrt{1-y^2} - y\sqrt{1-x^2}],$ ak platí $\ x > 0, y < 0, x^2 + y^2 > 1$

$\arcsin x - \arcsin y = - \pi - \arcsin[x\sqrt{1-y^2} + y\sqrt{1-x^2}],$ ak platí $\ x < 0, y > 0, x^2 + y^2 > 1$

arccos x + arccos y

$\arccos x + \arccos y = \arccos[xy - \sqrt{1-x^2}\cdot\sqrt{1-y^2}],$ ak platí $\ x + y \geq 0$

$\arccos x + \arccos y = 2\pi - \arccos[xy - \sqrt{1-x^2}\cdot\sqrt{1-y^2}],$ ak platí $\ x + y < 0$

arccos x - arccos y

$\arccos x - \arccos y = -\arccos[xy + \sqrt{1-x^2}\cdot\sqrt{1-y^2}],$ ak platí $\ x \geq y$

$\arccos x - \arccos y = \arccos[xy + \sqrt{1-x^2}\cdot\sqrt{1-y^2}],$ ak platí $\ x < y$

arctg x + arctg y

$\mathrm{arctg}\,x + \mathrm{arctg}\,y =\mathrm{arctg}\,{\frac{x+y}{1-xy}},$ ak platí $\ xy < 1$

$\mathrm{arctg}\,x + \mathrm{arctg}\,y =\pi + \mathrm{arctg}\,{\frac{x+y}{1-xy}},$ ak platí $\ x > 0, xy > 1$

$\mathrm{arctg}\,x + \mathrm{arctg}\,y =-\pi + \mathrm{arctg}\,{\frac{x+y}{1-xy}},$ ak platí $\ x < 0, xy > 1$

arctg x - arctg y

$\mathrm{arctg}x - \mathrm{arctg}y =\mathrm{arctg}{\frac{x-y}{1+xy}},$ ak platí $\ xy > -1$

$\mathrm{arctg}x - \mathrm{arctg}y =\pi + \mathrm{arctg}{\frac{x-y}{1+xy}},$ ak platí $\ x > 0, xy < -1$

$\mathrm{arctg}x - \mathrm{arctg}y =-\pi + \mathrm{arctg}{\frac{x-y}{1+xy}},$ ak platí $\ x < 0, xy < -1$

arccotg x + arccotg y

$\mathrm{arccotg}x + \mathrm{arccotg}y =\mathrm{arccotg}{\frac{xy-1}{x+y}},$ ak platí $\ x > -y$

$\mathrm{arccotg}x + \mathrm{arccotg}y =\mathrm{arccotg}{\frac{xy-1}{x+y}}+\pi,$ ak platí $\ x < -y$

arcsin x + arccos x

$\mathrm{arsin}x + \mathrm{arcos}x =\frac{\pi}{2},$ ak platí $\ |x|\leq1$

arctg x + arccotg x

$\mathrm{artg}x + \mathrm{arcotg}x =\frac{\pi}{2}$

Vyjadrenie cyklometrických funkcií v logaritmickom tvare

Cyklometrické funkcie sa dajú tiež vyjadriť použitím logaritmov a komplexných čísel:

$\begin{align} \arcsin x &{}= -i\,\log\left(i\,x+\sqrt{1-x^2}\right) &{}\\ \arccos x &{}= -i\,\log\left(x+\sqrt{x^2-1}\right) = \frac{\pi}{2}\,+i\log\left(i\,x+\sqrt{1-x^2}\right) = \frac{\pi}{2}-\arcsin x &{}\\ \mathrm{arctg}x &{}= \frac{i}{2}\left(\log\left(1-i\,x\right)-\log\left(1+i\,x\right)\right)= \mathrm{arccotg}\frac{1}{x}\\ \mathrm{arccotg}x &{}= \frac{i}{2}\left(\log\left(1-\frac{i}{x}\right)-\log\left(1+\frac{i}{x}\right)\right)= \mathrm{arctg}\frac{1}{x}\\ \end{align}$

Pozri aj

• Goniometrické funkcie

Literatúra

• Rektorys, K. a spol.: Přehled užité matematiky I., Prometheus, Praha, 2003, 7. vydání. ISBN 80-7196-179-5
• Bartch, Hans-Jochen: Matematické vzorce, SNTL, Praha 1987, 2. revidované vydání