Cyklometrická funkcia

z Wikipédie, slobodnej encyklopédie
Prejsť na: navigácia, hľadanie
Arkus sínus a Arkus kosínus

Cyklometrická funkcia je matematická funkcia inverzná ku funkciám goniometrickým.

Definícia[upraviť | upraviť zdroj]

Medzi cyklometrické funkcie patria:

Aby mohla k ľubovoľnej funkcii existovať inverzná funkcia, daná funkcia musí byť prostá, to znamená: rôznym dvom prvkom musí priraďovať dve rôzne hodnoty. Goniometrické funkcie sú ale periodické, a teda nie sú prosté. Preto ak chceme uvažovať o cyklometrických funkciách musíme najskôr ošetriť ich definičný obor a taktiež aj definičné obory goniometrických funkcií – to znamená, že musíme vybrať len tú podmnožinu definičného oboru danej goniometrickej funkcie, na ktorej je prostá.

Definičné obory cyklometrických a goniometrických funkcií[upraviť | upraviť zdroj]

Goniometrické funkcie Cyklometrické funkcie
Sínus: sin(x) pre x \in <- \pi/2; \pi/2> Arkus sínus: arcsin(x) pre x \in <-1; 1>
Cosínus: cos(x) pre x \in <0, \pi> Arkus cosínus: arccos(x) pre x \in <-1; 1>
Tangens: tg(x) pre x \in (- \pi/2; \pi/2) Arkus tangens: arctg(x) pre x \in R
Cotangens: ctg(x) pre x \in (0, \pi) Arkus cotangens: arcctg(x) pre x \in R

Vzťahy medzi cyklometrickými a goniometrickými funkciami[upraviť | upraviť zdroj]

sin a arcsin[upraviť | upraviť zdroj]

\mathrm{arcsin}(\mathrm{sin}x)=x\!, ak platí \ |x|\leq \frac{\pi}{2}
\sin(\mathrm{arcsin}x)=x\!, ak platí \ |x|\leq1

cos a arccos[upraviť | upraviť zdroj]

\mathrm{arccos}(\mathrm{cos}x)=x\!, ak platí \ 0 \leq x \leq\pi
\cos(\mathrm{arccos}x)=x\!, ak platí \ |x|\leq1

tg a arctg[upraviť | upraviť zdroj]

\mathrm{arctg}(\mathrm{tg}x)=x\!, ak platí \ |x|<\frac{\pi}{2}
\mathrm{tg}(\mathrm{arctg}x)=x\!

cotg a arccotg[upraviť | upraviť zdroj]

\mathrm{arccotg}(\mathrm{cotg}x)=x\!, ak platí \ 0 < x <\pi
\mathrm{cotg}(\mathrm{arcotg}x)=x\!

Vzťahy medzi cyklometrickými funkciami[upraviť | upraviť zdroj]

\mathrm{arcsin} x = \frac{\pi}{2} - \mathrm{arccos} x = \mathrm{arctg} \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}} = \frac{\pi}{2} - \mathrm{arccotg} \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}}
\mathrm{arccos} x = \frac{\pi}{2} - \mathrm{arcsin} x = \frac{\pi}{2} - \mathrm{arctg} \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}} = \mathrm{arccotg} \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}}
\mathrm{arctg} x = \mathrm{arcsin} \frac{x}{\sqrt{1 + x^2}} = \frac{\pi}{2} - \mathrm{arccos} \frac{x}{\sqrt{1 + x^2}} = \frac{\pi}{2} - \mathrm{arccotg} x
\mathrm{arccotg} x = \frac{\pi}{2} - \mathrm{arcsin} \frac{x}{\sqrt{1 + x^2}} = \mathrm{arccos} \frac{x}{\sqrt{1 + x^2}} = \frac{\pi}{2} - \mathrm{arctg} x

Pre x > 0 platí

\mathrm{arccotg} x = \mathrm{arctg} \frac{1}{x}

Pre x < 0 platí

\mathrm{arccotg} x = \pi + \mathrm{arctg} \frac{1}{x}

Vzťahy medzi cyklometrickými funkciami so vzájomne opačnými argumentmi[upraviť | upraviť zdroj]

\mathrm{arcsin}(-x) = - \mathrm{arcsin} x \!
\mathrm{arccos}(-x) = \pi - \mathrm{arccos} x \!
\mathrm{arctg} (-x)= - \mathrm{arctg} x \!
\mathrm{arccotg}(-x) = \pi - \mathrm{arccotg}x \!

Súčty a rozdiely cyklometrických funkcií[upraviť | upraviť zdroj]

arcsin x + arcsin y[upraviť | upraviť zdroj]

\arcsin x + \arcsin y = \arcsin[x\sqrt{1-y^2} + y\sqrt{1-x^2}], ak platí \ xy \leq 0 alebo  x^2 + y^2\leq 1
\arcsin x + \arcsin y = \pi - \arcsin[x\sqrt{1-y^2} + y\sqrt{1-x^2}], ak platí \ x > 0, y > 0, x^2 + y^2 > 1
\arcsin x + \arcsin y = - \pi - \arcsin[x\sqrt{1-y^2} + y\sqrt{1-x^2}], ak platí \ x < 0, y < 0, x^2 + y^2 > 1

arcsin x - arcsin y[upraviť | upraviť zdroj]

\arcsin x - \arcsin y = \arcsin[x\sqrt{1-y^2} - y\sqrt{1-x^2}], ak platí \ xy \geq 0 alebo  x^2 + y^2\leq 1
\arcsin x - \arcsin y = \pi - \arcsin[x\sqrt{1-y^2} - y\sqrt{1-x^2}], ak platí \ x > 0, y < 0, x^2 + y^2 > 1
\arcsin x - \arcsin y = - \pi - \arcsin[x\sqrt{1-y^2} + y\sqrt{1-x^2}], ak platí \ x < 0, y > 0, x^2 + y^2 > 1

arccos x + arccos y[upraviť | upraviť zdroj]

\arccos x + \arccos y = \arccos[xy - \sqrt{1-x^2}\cdot\sqrt{1-y^2}], ak platí \ x + y \geq 0
\arccos x + \arccos y = 2\pi - \arccos[xy - \sqrt{1-x^2}\cdot\sqrt{1-y^2}], ak platí \ x + y < 0

arccos x - arccos y[upraviť | upraviť zdroj]

\arccos x - \arccos y = -\arccos[xy + \sqrt{1-x^2}\cdot\sqrt{1-y^2}], ak platí \ x \geq y
\arccos x - \arccos y = \arccos[xy + \sqrt{1-x^2}\cdot\sqrt{1-y^2}], ak platí \ x < y

arctg x + arctg y[upraviť | upraviť zdroj]

\mathrm{arctg}\,x + \mathrm{arctg}\,y =\mathrm{arctg}\,{\frac{x+y}{1-xy}}, ak platí \ xy < 1
\mathrm{arctg}\,x + \mathrm{arctg}\,y =\pi + \mathrm{arctg}\,{\frac{x+y}{1-xy}}, ak platí \ x > 0, xy > 1
\mathrm{arctg}\,x + \mathrm{arctg}\,y =-\pi + \mathrm{arctg}\,{\frac{x+y}{1-xy}}, ak platí \ x < 0, xy > 1

arctg x - arctg y[upraviť | upraviť zdroj]

\mathrm{arctg}x - \mathrm{arctg}y =\mathrm{arctg}{\frac{x-y}{1+xy}}, ak platí \ xy > -1
\mathrm{arctg}x - \mathrm{arctg}y =\pi + \mathrm{arctg}{\frac{x-y}{1+xy}}, ak platí \ x > 0, xy < -1
\mathrm{arctg}x - \mathrm{arctg}y =-\pi + \mathrm{arctg}{\frac{x-y}{1+xy}}, ak platí \ x < 0, xy < -1

arccotg x + arccotg y[upraviť | upraviť zdroj]

\mathrm{arccotg}x + \mathrm{arccotg}y =\mathrm{arccotg}{\frac{xy-1}{x+y}}, ak platí \ x > -y
\mathrm{arccotg}x + \mathrm{arccotg}y =\mathrm{arccotg}{\frac{xy-1}{x+y}}+\pi, ak platí \ x < -y

arcsin x + arccos x[upraviť | upraviť zdroj]

\mathrm{arsin}x + \mathrm{arcos}x =\frac{\pi}{2}, ak platí \ |x|\leq1

arctg x + arccotg x[upraviť | upraviť zdroj]

\mathrm{artg}x + \mathrm{arcotg}x =\frac{\pi}{2}

Vyjadrenie cyklometrických funkcií v logaritmickom tvare[upraviť | upraviť zdroj]

Cyklometrické funkcie sa dajú tiež vyjadriť použitím logaritmov a komplexných čísel:


\begin{align}
\arcsin x &{}= -i\,\log\left(i\,x+\sqrt{1-x^2}\right) &{}\\
\arccos x &{}= -i\,\log\left(x+\sqrt{x^2-1}\right) = \frac{\pi}{2}\,+i\log\left(i\,x+\sqrt{1-x^2}\right) = \frac{\pi}{2}-\arcsin x &{}\\
\mathrm{arctg}x &{}= \frac{i}{2}\left(\log\left(1-i\,x\right)-\log\left(1+i\,x\right)\right)= \mathrm{arccotg}\frac{1}{x}\\
\mathrm{arccotg}x &{}= \frac{i}{2}\left(\log\left(1-\frac{i}{x}\right)-\log\left(1+\frac{i}{x}\right)\right)= \mathrm{arctg}\frac{1}{x}\\
\end{align}

Pozri aj[upraviť | upraviť zdroj]

Literatúra[upraviť | upraviť zdroj]

  • Rektorys, K. a spol.: Přehled užité matematiky I., Prometheus, Praha, 2003, 7. vydání. ISBN 80-7196-179-5
  • Bartch, Hans-Jochen: Matematické vzorce, SNTL, Praha 1987, 2. revidované vydání