Dôkaz sporom
z Wikipédie, slobodnej encyklopédie
Dôkaz sporom alebo dôkaz per absurdum je dôkaz pomocou zákona reductio ad absurdum, teda dôkaz podľa vzorca: ak platí "z A vyplýva B", potom ak vieme, že "z A vyplýva opak B", tak platí opak A.
Inými slovami je dôkaz sporom toto: ak "z A vyplýva B" a zároveň "z A vyplýva opak B", tak platí opak A. Alebo slovne: Ak z nejakého predpokladu A vyplýva výrok B a súčasne jeho negácia, potom musí platiť negácia A.
Je to obmena/špeciálna forma nepriameho dôkazu.
[upraviť] Príklad
Ako príklad dokážeme, že
nie je racionálne číslo. Dokazujeme nepriamo. Predpokladáme, že
je racionálne číslo. To znamená, že existujú celé čísla p a q také, že
pričom q je rôzne od nuly a p a q sú nesúdeliteľné.
Umocnením oboch strán rovnice na druhú dostaneme, že p2 / q2 = 2. Z nenulovosti q vyplýva p2 = 2q2, teda číslo p2 je párne. Keďže p2 je štvorec, znamená to, že aj samo p je párne a možno ho teda vyjadriť v tvare p = 2m kde m je nejaké celé číslo. Keď posledný vzťah skombinujeme so vzťahom p2 = 2q2 zistíme, že (2m)2 = q2, čo znamená, že aj q2 je párne číslo. Znovu, keďže q2 je štvorec, znamená to, že aj q je párne. Takto sme dokázali, že p aj q sú párne čísla a teda číslo 2 je ich spoločným deliteľom. Ale to je spor s predpokladom, že p a q sú nesúdeliteľné.
