Dôkaz sporom

Dôkaz sporom alebo dôkaz per absurdum je dôkaz pomocou zákona reductio ad absurdum, teda dôkaz podľa vzorca: ak platí "z A vyplýva B", potom ak vieme, že "z A vyplýva opak B", tak platí opak A.

Inými slovami je dôkaz sporom toto: ak "z A vyplýva B" a zároveň "z A vyplýva opak B", tak platí opak A. Alebo slovne: Ak z nejakého predpokladu A vyplýva výrok B a súčasne jeho negácia, potom musí platiť negácia A.

Je to obmena/špeciálna forma nepriameho dôkazu.

Príklad

Ako príklad dokážeme, že $\sqrt 2$ nie je racionálne číslo. Dokazujeme nepriamo. Predpokladáme, že $\sqrt 2$ je racionálne číslo. To znamená, že existujú celé čísla $p$ a $q$ také, že

$\frac{p}{q}=\sqrt 2$

pričom $q$ je rôzne od nuly a $p$ a $q$ sú nesúdeliteľné.

Umocnením oboch strán rovnice na druhú dostaneme, že $p^{2}/q^{2}=2$. Z nenulovosti $q$ vyplýva $p^{2}=2q^{2}$, teda číslo $p^{2}$ je párne. Keďže $p^{2}$ je štvorec, znamená to, že aj samo $p$ je párne a možno ho teda vyjadriť v tvare $p=2m$ kde $m$ je nejaké celé číslo. Keď posledný vzťah skombinujeme so vzťahom $p^{2}=2q^{2}$ zistíme, že $(2m)^{2}=q^{2}$, čo znamená, že aj $q^{2}$ je párne číslo. Znovu, keďže $q^{2}$ je štvorec, znamená to, že aj $q$ je párne. Takto sme dokázali, že $p$ aj $q$ sú párne čísla a teda číslo 2 je ich spoločným deliteľom. Ale to je spor s predpokladom, že $p$ a $q$ sú nesúdeliteľné.