Dôkaz sporom

z Wikipédie, slobodnej encyklopédie
Prejsť na: navigácia, hľadanie

Dôkaz sporom alebo dôkaz per absurdum je dôkaz pomocou zákona reductio ad absurdum, teda dôkaz podľa vzorca: ak platí "z A vyplýva B", potom ak vieme, že "z A vyplýva opak B", tak platí opak A.

Inými slovami je dôkaz sporom toto: ak "z A vyplýva B" a zároveň "z A vyplýva opak B", tak platí opak A. Alebo slovne: Ak z nejakého predpokladu A vyplýva výrok B a súčasne jeho negácia, potom musí platiť negácia A.

Je to obmena/špeciálna forma nepriameho dôkazu.

Príklad[upraviť | upraviť zdroj]

Ako príklad dokážeme, že \sqrt 2 nie je racionálne číslo. Dokazujeme nepriamo. Predpokladáme, že \sqrt 2 je racionálne číslo. To znamená, že existujú celé čísla p a q také, že

\frac{p}{q}=\sqrt 2

pričom q je rôzne od nuly a p a qnesúdeliteľné.

Umocnením oboch strán rovnice na druhú dostaneme, že p^{2}/q^{2}=2. Z nenulovosti q vyplýva p^{2}=2q^{2}, teda číslo p^{2} je párne. Keďže p^{2} je štvorec, znamená to, že aj samo p je párne a možno ho teda vyjadriť v tvare p=2m kde m je nejaké celé číslo. Keď posledný vzťah skombinujeme so vzťahom p^{2}=2q^{2} zistíme, že (2m)^{2}=q^{2}, čo znamená, že aj q^{2} je párne číslo. Znovu, keďže q^{2} je štvorec, znamená to, že aj q je párne. Takto sme dokázali, že p aj q sú párne čísla a teda číslo 2 je ich spoločným deliteľom. Ale to je spor s predpokladom, že p a q sú nesúdeliteľné.