Dôkaz sporom

z Wikipédie, slobodnej encyklopédie

Dôkaz sporom alebo dôkaz per absurdum je dôkaz pomocou zákona reductio ad absurdum, teda dôkaz podľa vzorca: ak platí "z A vyplýva B", potom ak vieme, že "z A vyplýva opak B", tak platí opak A.

Inými slovami je dôkaz sporom toto: ak "z A vyplýva B" a zároveň "z A vyplýva opak B", tak platí opak A. Alebo slovne: Ak z nejakého predpokladu A vyplýva výrok B a súčasne jeho negácia, potom musí platiť negácia A.

Je to obmena/špeciálna forma nepriameho dôkazu.

[upraviť] Príklad

Ako príklad dokážeme, že nie je racionálne číslo. Dokazujeme nepriamo. Predpokladáme, že je racionálne číslo. To znamená, že existujú celé čísla p a q také, že

pričom q je rôzne od nuly a p a q sú nesúdeliteľné.

Umocnením oboch strán rovnice na druhú dostaneme, že p² / q² = 2. Z nenulovosti q vyplýva p² = 2q², teda číslo p² je párne. Keďže p² je štvorec, znamená to, že aj samo p je párne a možno ho teda vyjadriť v tvare p = 2m kde m je nejaké celé číslo. Keď posledný vzťah skombinujeme so vzťahom p² = 2q² zistíme, že (2m)² = q², čo znamená, že aj q² je párne číslo. Znovu, keďže q² je štvorec, znamená to, že aj q je párne. Takto sme dokázali, že p aj q sú párne čísla a teda číslo 2 je ich spoločným deliteľom. Ale to je spor s predpokladom, že p a q sú nesúdeliteľné.