D’Alembertov operátor

z Wikipédie, slobodnej encyklopédie
Prejsť na: navigácia, hľadanie

D'Alembertov operátor alebo d'Alembertián je diferenciálny operátor nazvaný podľa Jeana Le Rond d'Alemberta. Je to špeciálny prípad Laplaceovho operátora pre štvorrrozmerný Minkowského priestor s metrikou \operatorname{diag}(-1,1,1,1). Značí sa symbolom \square. Využíva sa v špeciálnej teórii relativity a elektromagnetizme.

d'Alembertov operátor v karteziánskych súradniciach je rovný

\square f=
\frac{\partial^2 f}{\partial (x_1)^2}
+\frac{\partial^2 f}{\partial (x_2)^2}
+\frac{\partial^2 f}{\partial (x_3)^2}
-\frac{\partial^2 f}{\partial (x_0)^2},

alebo špeciálne pri použití súradníc (t,x,y,z)

\square f=\eta^{\mu\nu}\partial_{\mu}\partial_{\nu} f=
\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}
+\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}
+\frac{\partial^2 f}{\partial z^2}
-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 f}{\partial {t}^2},

V látkovom prostredí sa niekedy používa definícia

\square f=
\Delta f-\mu\varepsilon\frac{\partial^2 f}{\partial {t}^2}=
\Delta f-\frac{N^2}{c^2}\frac{\partial^2 f}{\partial {t}^2},

kde \mu,\varepsilon sú magnetická permeabilita a elektrická permitivita daného materiálu a N je jeho index lomu.