Derivácia v smere

Derivácia v smere, presnejšie derivácia diferencovateľnej funkcie viacerých reálnych premenných v smere daného vektora „V“ v danom bode „P“, je koncept, ktorý formalizuje intuitívnu predstavu "sklonu" rezu danej funkcie rovinou určenou (jednotkovým) vektorom „V“ a osou závislej premennej v bode „P“. Derivácia v smere teda určuje mieru rastu funkcie, ak všetky závislé premenné meníme v smere vektora „V“. Je teda zovšeobecnením konceptu parciálnej derivácie, pri ktorej je tento smer vždy rovnobežný s niektorou zo súradnicových osí - parciálna derivácia je teda špeciálnym prípadom derivácie v smere. Derivácia v smere je zas špeciálnym prípadom tzv. Gâteauxovej derivácie.

Definícia

Derivácia funkcie

$f(\vec{x}) = f(x_1, x_2, \ldots, x_n)$

v smere vektora

$\vec{v} = (v_1, \ldots, v_n)$

je funkcia definovaná ako limita

$\frac{\partial f}{\partial\vec{v}}(\vec{x}) = \lim_{h \rightarrow 0}{\frac{f(\vec{x} + h\vec{v}) - f(\vec{x})}{h}}.$

Niekedy sa derivácia v smere označuje aj ako $D_\vec{v}(\vec{x})$ alebo $\nabla_\vec{v}(\vec{x})$. Ak je funkcia $f$ diferencovateľná v bode $\vec{x}$, tak existuje derivácia v smere ľubovoľného vektora $\vec{v},$ pričom platí

$\frac{\partial f}{\partial\vec{v}}(\vec{x}) = \nabla f(\vec{x}) \cdot \vec{v}$,

kde $\nabla$ označuje gradient a $\cdot$ je skalárny súčin.

Vlastnosti

Pre derivácie v smere platia viaceré vlastnosti, ktoré platia pre klasické derivácie funkcií jednej reálnej premennej alebo pre parciálne derivácie. Konkrétne, nech f a g sú funkcie definované na okolí bodu p a diferencovateľné v p. Potom platia nasledujúce vlastnosti:

• $\frac{\partial (f + g)}{\partial\vec{v}}(p) = \frac{\partial f}{\partial\vec{v}}(p) + \frac{\partial g}{\partial\vec{v}}(p)$
• Pre ľubovoľnú konštantu c: $\frac{\partial (cf)}{\partial\vec{v}}(p) = c\frac{\partial f}{\partial\vec{v}}(p)$
• $\frac{\partial (fg)}{\partial\vec{v}}(p) = g(p)\frac{\partial f}{\partial\vec{v}}(p) + f(p)\frac{\partial g}{\partial\vec{v}}(p)$
• Ak g je diferencovateľná v p a h je diferencovateľná v bode g(p), tak

$\frac{\partial (h\circ g)}{\vec{v}}(p) = h'(g(p)) \frac{\partial g}{\vec{v}}(p)$

Pozri aj

• Parciálna derivácia
• Gradient

Externé odkazy

• Článok o deriváciách v smere na stránkach Wolfram MathWorld (po anglicky).