Diracova miera

Diracova miera je miera δ_x na množine X (so σ-algebrou všetkých podmnožín X), ktorá dáva množine {x} mieru 1, pre daný bod $x\in X$:

$\delta_{x} \left( \{ x \} \right) = 1.$

Vo všeobecnosti je táto miera definovaná

$\delta_{x} (A) := \begin{cases} 0, & x \not \in A, \\ 1, & x \in A, \end{cases}$

pre každú podmnožinu $A\subset X$.

Diracova miera je pravdepodobnostná miera. Diracove miery sú práve všetky extremálne body konvexnej množiny všetkých pravdepodobnostných mier na X.

Názov je odvodený od Diracovej funkcie delta.

Vlastnosti Diracovej miery

Nech δ_x značí Diracovu mieru v bode x merateľného priestoru (X, Σ).

• δ_x je pravdepodobnostná miera, a teda konečná.

Predpokladajme, že (X, T) je topologický priestor, a že Σ obsahuje všetky borelovské podmnožiny X.

• Ak X je Hausdorffov topologický priestor s borelovskou σ-algebrou, potom δ_x je vnútorne regulárna miera, keďže {x} je kompakt. Teda δ_x je Radonova miera.
• Ak {x} je uzavretá množina v topológii T, potom nosičom δ_x je {x}.

Pozri aj

• Diskrétna miera