Divergencia (vektorové pole)

z Wikipédie, slobodnej encyklopédie
Prejsť na: navigácia, hľadanie

Divergencia diferenciálny operátor používaný vo vektorovej analýze. Ak napr. skúmaným poľom gradient teploty (vektory nech udávajú napr. rýchlosť vedenia tepla), potom kladná divergencia v danom bode znamená, že v danom bode vzniká teplo, záporná naopak, že v danom mieste teplo zaniká.

Divergenciu využíva Gaussova veta, ktorá prevádza výpočet toku vektorového poľa cez uzavretú plochu na výpočet integrálu divergencie daného vektorového poľa z objem v tejto ploche uzavretého.

Definícia[upraviť | upraviť zdroj]

Ak sú x, y, z karteziánske súradnice v 3-rozmernom euklidovskom priestore, a ex, ey, ez je báza jednotkových vektorov v danom priestore, a

\mathbf{F} = F_x \mathbf{e}_x+F_y \mathbf{e}_y+F_z \mathbf{e}_z

je spojité diferencovateľné vektorové pole, potom jeho divergenciu definujeme ako skalárnu veličinu

\operatorname{div}\,\mathbf{F} = \nabla\cdot\mathbf{F}
=\frac{\partial F_x}{\partial x}
+\frac{\partial F_y}{\partial y}
+\frac{\partial F_z}{\partial z}.

Napriek tomu, že je divergencia definovaná v karteziánskych súradniciach, ide o invariantnú veličinu, ktorá nadobúda rovnaké hodnoty vo všetkých súradných sústavách.

V n-rozmernom priestore možno operátor divergencie vyjadriť prostredníctvom skalárneho súčinu operátoru nabla a vektoru v, tzn.

\mathrm{div}\,\mathbf{v} = \nabla \cdot \mathbf{v} = \frac{\part v_k}{\part x_k} = \frac{\part v_1}{\part x_1} + \frac{\part v_2}{\part x_2} + \cdots + \frac{\part v_n}{\part x_n},

kde sa využilo Einsteinove sumačné pravidlo.

Operátor divergencie sa zapisuje aj ako

\mathrm{div} = \nabla \cdot


Deriváciou tenzora T n-tého stupňa dostaneme tenzor stupňa n+1 so zložkami \frac{\part \mathbf{T}_{ij\cdots rs}}{\part x_t}. Kontrakciou indexu t proti indexu s získame divergenciu tenzoru T, čo je tenzor stupňa n-1.

\mathbf{D}_{ij\cdots r} = \frac{\part \mathbf{T}_{ij\cdots rs}}{\part x_s}

Divergencia teda znižuje stupeň tenzoru o 1, napr. divergenciou vektora získame skalár.


Vlastnosti[upraviť | upraviť zdroj]

Ak označíme F, G ako vektorové polia, f ako skalárne pole, a,b reálne čísla, potom operátor divergencie spĺňa nasledujúce identity:

Je lineárna voči reálnym číslam

\nabla\cdot( a\mathbf{F} + b\mathbf{G} ) 
= a\;\nabla\cdot \mathbf{F}  
+ b\;\nabla\cdot \mathbf{G},

aplikovaná na súčin funkcie a vektorového poľa spĺňa identitu

\nabla\cdot(f \mathbf{F}) 
= \nabla f \cdot \mathbf{F} 
+ f \;\nabla\cdot\mathbf{F} = \mathrm{grad}f\cdot\mathbf{F} + f \; \mathrm{div}\mathbf{F}.

Pre divergenciu vektorového súčinu platí

\nabla\cdot(\mathbf{F}\times\mathbf{G})
= (\nabla\times\mathbf{F})\cdot\mathbf{G}
- \mathbf{F}\cdot(\nabla\times\mathbf{G}) = (\mathrm{rot}\,\mathbf{F})\cdot \mathbf{G} - \mathbf{F}\cdot(\mathrm{rot}\,\mathbf{G}),

kde ∇ × F je rotácia F.

Ďalej divergencia rotácie sa rovná nule:

\nabla\cdot(\nabla\times\mathbf{F}) = \mathrm{div}\,\mathrm{rot}\,\mathbf{F} = 0.

Vyjadrenie v rôznych súradných sústavách[upraviť | upraviť zdroj]

Nasledujúce vzťahy udávajú vyjadrenie divergencie v rôznych súradných sústavách v trojrozmernom priestore. Ak je F vektorové pole v  v daných súradniciach, tak platí

Vo valcových súradniciach:

\nabla \cdot \mathbf{F} = {1 \over r}{\partial ( r F_r  ) \over \partial r} 
  + {1 \over r}{\partial F_\varphi \over \partial \varphi} 
  + {\partial F_z \over \partial z}

Vo sférických súradniciach:

\nabla \cdot \mathbf{F} = {1 \over r^2}{\partial ( r^2 F_r ) \over \partial r} 
  + {1 \over r\sin\theta}{\partial \over \partial \theta} (  F_\theta\sin\theta )  
  + {1 \over r\sin\theta}{\partial F_\varphi \over \partial \varphi}

Ak použijeme všeobecné ortogonálne súradnice x1,x2,x3, ktorej Laméove koeficienty sú v tomto poradí h1,h2,h3

\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{1}{h_1 h_2 h_3} \left(
\frac{\partial \left(h_2 h_3 F_1\right)}{\partial x_1} +
\frac{\partial \left(h_1 h_3 F_2\right)}{\partial x_2} +
\frac{\partial \left(h_1 h_2 F_3\right)}{\partial x_3} 
\right)

V úplne všeobecných súradniciach pre zložky vektora divergencie platí

\nabla_{\underline{m}} \left({F}^k \frac{\boldsymbol{\partial}^{\underline{m}}}{\boldsymbol{\partial} x^k} \right) = 
{F^k}_{;k} = {F^k}_{,k} + {\Gamma^{i}}_{ij}{F^j}


Dohovor: Kým v predchádzajúcom texte sme za bázu brali ortonormálnu bázu v daných súradniciach, vo vzorci pre všeobecné súradnice používame bázu vektorov alebo diferenciálnych foriem a explicitne uvedieme ktorú. Rovnako v predchádzajúcom texte nerozlišujeme polohu indexov a všetky indexy (ortonormálnej bázy aj súradníc) píšeme dole, no vo všeobecných súradniciach polohu indexov rozlišujeme.