Fisherovo-Snedecorovo rozdelenie

z Wikipédie, slobodnej encyklopédie
Prejsť na: navigácia, hľadanie

Fisherovo-Snedecorovo rozdelenie (pravdepodobnosti) (iné názvy: Fisherovo-Snedecorovo pravdepodobnostné rozdelenie, Fisherovo-Snedecorovo F-rozdelenie, Fisherovo-Snedecorovo rozdelenie F, Fisherovo (F-)rozdelenie (pravdepodobnosti), Snedecorovo (F-)rozdelenie (pravdepodobnosti), F-rozdelenie (pravdepodobnosti), rozdelenie F) je v teórii pravdepodobnosti a matematickej štatistike spojité rozdelenie pravdepodobnosti.

Rozdelenie je pomenované podľa Ronaldovi Aylmerovi Fisherovi a Georgeovi Waddelovi Snedecorovi, dvoch významných matematikoch.

Fisherovo-Snedecorovo rozdelenie má v matematickej štatistike veľmi významné postavenie a využitie. Najčastejšie sa používa pri testovaní štatistických hypotéz. Pri tomto testovaní sa využívajú kritické hodnoty F-rozdelenia, ktoré sú tabelované a na základe nich vieme testovanú štatistickú hypotézu prijať alebo zamietnuť.

Definícia[upraviť | upraviť zdroj]

Nech X je náhodná premenná, nech x > 0, a nech m a nprirodzené čísla. Hovoríme, že X má Fisherovo-Snedecorovo rozdelenie s m a n stupňami voľnosti (môžeme tiež písať: (m, n) - stupňami voľnosti), ak jej hustota rozdelenia má nasledovný tvar:


f_{m, n} (x) =
\begin{cases}
\frac{\Gamma(\frac{m + n}{2})}{\Gamma(\frac{m}{2})\Gamma(\frac{n}{2})}(\frac{m}{n})^{\frac{m}{2}}x^{\frac{m}{2}-1}(1 + \frac{m}{n}x)^{-\frac{m + n}{2}} & \mathrm{pre}\ x > 0
\\0 & \mathrm{pre}\ x \le 0
\end{cases}

kde označenie \Gamma(\alpha) označuje gama funkciu (ktorá sa tiež nazýva aj Eulerov integrál druhého druhu) a je definovaná nasledovne:

\operatorname\Gamma(\alpha) = \int_{0}^{\infty}e^{-x}x^{\alpha - 1}\mathrm{d}x

Označenie:

  • \operatorname X \sim F(m, n)

Ďalšie vyjadrenia[upraviť | upraviť zdroj]

Náhodnú premennú X, ktorá má Fisherovo-Snedecorovo rozdelenie, môžeme tiež vyjadriť aj pomocou dvoch \chi^2-kvadrátov, a to nasledovne:
Majme dve náhodné premenné Y a Z, ktoré sú nezávislé. Nech o nich platí, že Y\chi^2-kvadrát rozdelenie s m stupňami voľnosti a Z nech má \chi^2-kvadrát rozdelenie s n stupňami voľnosti, teda: \operatorname Y \sim \chi^2(m) a \operatorname Z \sim \chi^2(n). Potom náhodná premenná F definovaná vzťahom:

F = \frac{\frac{Y}{m}}{\frac{Z}{n}}

má Fisherovo-Snedecorovo rozdelenie s m a n stupňami voľnosti.

Rozdelenie môžeme tiež vyjadriť aj pomocou dvoch náhodných výberov z normálneho rozdelenia, a to nasledovne:
Majme náhodný výber (X_1, ..., X_m) z nejakého základného súboru, ktorý má normálne rozdelenie N(\mu_1 ; \sigma_1^2), ďalej majme náhodný výber (Y_1, ..., Y_n) z ďalšieho základného súboru, ktorý má normálne rozdelenie N(\mu_2 ; \sigma_2^2). Nech S_1^2 a S_2^2 sú výberové rozptyly a nech pre m, n, \sigma_1^2 a \sigma_2^2 platí nasledovné:

  • m \ge 2
  • n \ge 2
  • \sigma_1^2 = \sigma_2^2

Potom náhodná premenná F definovaná vzťahom:

F = \frac{S_1^2}{S_2^2}

má Fisherovo-Snedecorovo rozdelenie s m-1 a n-1 stupňami voľnosti (alebo: (m-1, n-1)-stupňami voľnosti).

Vlastnosti[upraviť | upraviť zdroj]

Ako vidíme z definície, toto rozdelenie závisí od počtu stupňov voľnosti. Graf rozdelenia je asymetrický.
Pokiaľ má náhodná premenná X Fisherovo-Snedecorovo rozdelenie, tak potom jej k-ty začiatočný moment má nasledovný tvar:


\mu_{k} = \left(\frac{n}{m}\right)^{k}\frac{\Gamma(\frac{m}{2} + k)\Gamma({n}{2}-k)}{\Gamma({m}{2})\Gamma(\frac{n}{2})}

Z tohto vzťahu ľahko vidíme, že pre strednú hodnotu a disperziu náhodnej premennej X s Fisherovým-Snedecorovým rozdelením platí nasledovné:


E(X) = \frac{n}{n - 2}
 ; pre n > 2


D(X) = \frac{2n^2(m+n-2)}{m(n-2)^2(n-4)}
 ; pre n > 4

Kritická hodnota[upraviť | upraviť zdroj]

Kritické hodnoty sa využívajú pri testovaní štatistických hypotéz a pre Fisherovo-Snedecorovo rozdelenie sú tabelované. Kritickú hodnotu môžeme zadefinovať nasledovne:

Nech X je náhodná premenná, ktorá má Fisherovo-Snedecorovo rozdelenie s m a n stupňami voľnosti. Potom hodnotu \operatorname F(m, n, \alpha), ktorú náhodná premenná X presiahne so zvolenou pravdepodobnosťou \alpha nazývame kritickou hodnotou Fisherovho-Snedecorovho rozdelenia. Teda matematicky zapísané:

P (X > F(m, n, \alpha)) = \int_{F(m, n, \alpha)}^{\infty} f_{m, n}(x) \mathrm{d}x = \alpha

Externé odkazy[upraviť | upraviť zdroj]

Zdroje[upraviť | upraviť zdroj]

  • RIEČAN, Beloslav; LAMOŠ, František; LENÁRT, Cyril. Pravdepodobnosť a matematická štatistika. Bratislava : ALFA – vydavateľstvo technickej a ekonomickej literatúry Bratislava, 1984. Kapitola Popisná štatistika a výberové metódy – Výber z normálneho rozdelenia, s. 320.
  • LAMOŠ, František; POTOCKÝ, Rastislav. Pravdepodobnosť a matematická štatistika - Štatistické analýzy. Bratislava : Vydavateľstvo Univerzity Komenského v Bratislave, 1998. ISBN 80-223-1262-2. Kapitola Niektoré typy rozdelenia pravdepodobnosti, s. 344 strán.
  • JANKOVÁ, Katarína; PÁZMAN, Andrej. Pravdepodobnosť a štatistika. Bratislava : Vydavateľstvo UK, 2011. ISBN 978-80-223-2931-6. Kapitola Dôležité rozdelenia odvodené od normálneho, s. 150.
  • BARNOVSKÁ, Mária, kol. Cvičenia z matematickej analýzy III.. [s.l.] : MFF UK, 2005. Dostupné online. Kapitola Parametrické integrály – Eulerove integrály, s. 156.