Fisherovo-Snedecorovo rozdelenie

Fisherovo-Snedecorovo rozdelenie (pravdepodobnosti) (iné názvy: Fisherovo-Snedecorovo pravdepodobnostné rozdelenie, Fisherovo-Snedecorovo F-rozdelenie, Fisherovo-Snedecorovo rozdelenie F, Fisherovo (F-)rozdelenie (pravdepodobnosti), Snedecorovo (F-)rozdelenie (pravdepodobnosti), F-rozdelenie (pravdepodobnosti), rozdelenie F) je v teórii pravdepodobnosti a matematickej štatistike spojité rozdelenie pravdepodobnosti.

Rozdelenie je pomenované podľa Ronaldovi Aylmerovi Fisherovi a Georgeovi Waddelovi Snedecorovi, dvoch významných matematikoch.

Fisherovo-Snedecorovo rozdelenie má v matematickej štatistike veľmi významné postavenie a využitie. Najčastejšie sa používa pri testovaní štatistických hypotéz. Pri tomto testovaní sa využívajú kritické hodnoty F-rozdelenia, ktoré sú tabelované a na základe nich vieme testovanú štatistickú hypotézu prijať alebo zamietnuť.

Definícia

Nech $X$ je náhodná premenná, nech $x > 0$, a nech $m$ a $n$ sú prirodzené čísla. Hovoríme, že $X$ má Fisherovo-Snedecorovo rozdelenie s $m$ a $n$ stupňami voľnosti (môžeme tiež písať: (m, n) - stupňami voľnosti), ak jej hustota rozdelenia má nasledovný tvar:

$f_{m, n} (x) = \begin{cases} \frac{\Gamma(\frac{m + n}{2})}{\Gamma(\frac{m}{2})\Gamma(\frac{n}{2})}(\frac{m}{n})^{\frac{m}{2}}x^{\frac{m}{2}-1}(1 + \frac{m}{n}x)^{-\frac{m + n}{2}} & \mathrm{pre}\ x > 0 \\0 & \mathrm{pre}\ x \le 0 \end{cases}$

kde označenie $\Gamma(\alpha)$ označuje gama funkciu (ktorá sa tiež nazýva aj Eulerov integrál druhého druhu) a je definovaná nasledovne:

$\operatorname\Gamma(\alpha) = \int_{0}^{\infty}e^{-x}x^{\alpha - 1}\mathrm{d}x$

Označenie:

• $\operatorname X \sim F(m, n)$

Ďalšie vyjadrenia

Náhodnú premennú X, ktorá má Fisherovo-Snedecorovo rozdelenie, môžeme tiež vyjadriť aj pomocou dvoch $\chi^2$-kvadrátov, a to nasledovne:
Majme dve náhodné premenné $Y$ a $Z$, ktoré sú nezávislé. Nech o nich platí, že $Y$ má $\chi^2$-kvadrát rozdelenie s $m$ stupňami voľnosti a $Z$ nech má $\chi^2$-kvadrát rozdelenie s $n$ stupňami voľnosti, teda: $\operatorname Y \sim \chi^2(m)$ a $\operatorname Z \sim \chi^2(n)$. Potom náhodná premenná $F$ definovaná vzťahom:

$F = \frac{\frac{Y}{m}}{\frac{Z}{n}}$

má Fisherovo-Snedecorovo rozdelenie s $m$ a $n$ stupňami voľnosti.

Rozdelenie môžeme tiež vyjadriť aj pomocou dvoch náhodných výberov z normálneho rozdelenia, a to nasledovne:
Majme náhodný výber $(X_1, ..., X_m)$ z nejakého základného súboru, ktorý má normálne rozdelenie $N(\mu_1 ; \sigma_1^2)$, ďalej majme náhodný výber $(Y_1, ..., Y_n)$ z ďalšieho základného súboru, ktorý má normálne rozdelenie $N(\mu_2 ; \sigma_2^2)$. Nech $S_1^2$ a $S_2^2$ sú výberové rozptyly a nech pre $m$, $n$, $\sigma_1^2$ a $\sigma_2^2$ platí nasledovné:

• $m \ge 2$
• $n \ge 2$
• $\sigma_1^2 = \sigma_2^2$

Potom náhodná premenná $F$ definovaná vzťahom:

$F = \frac{S_1^2}{S_2^2}$

má Fisherovo-Snedecorovo rozdelenie s $m-1$ a $n-1$ stupňami voľnosti (alebo: $(m-1, n-1)$-stupňami voľnosti).

Vlastnosti

Ako vidíme z definície, toto rozdelenie závisí od počtu stupňov voľnosti. Graf rozdelenia je asymetrický.
Pokiaľ má náhodná premenná $X$ Fisherovo-Snedecorovo rozdelenie, tak potom jej $k-ty$ začiatočný moment má nasledovný tvar:

$\mu_{k} = \left(\frac{n}{m}\right)^{k}\frac{\Gamma(\frac{m}{2} + k)\Gamma({n}{2}-k)}{\Gamma({m}{2})\Gamma(\frac{n}{2})}$

Z tohto vzťahu ľahko vidíme, že pre strednú hodnotu a disperziu náhodnej premennej $X$ s Fisherovým-Snedecorovým rozdelením platí nasledovné:

$E(X) = \frac{n}{n - 2}$ ; pre $n > 2$

$D(X) = \frac{2n^2(m+n-2)}{m(n-2)^2(n-4)}$ ; pre $n > 4$

Kritická hodnota

Kritické hodnoty sa využívajú pri testovaní štatistických hypotéz a pre Fisherovo-Snedecorovo rozdelenie sú tabelované. Kritickú hodnotu môžeme zadefinovať nasledovne:

Nech $X$ je náhodná premenná, ktorá má Fisherovo-Snedecorovo rozdelenie s $m$ a $n$ stupňami voľnosti. Potom hodnotu $\operatorname F(m, n, \alpha)$, ktorú náhodná premenná $X$ presiahne so zvolenou pravdepodobnosťou $\alpha$ nazývame kritickou hodnotou Fisherovho-Snedecorovho rozdelenia. Teda matematicky zapísané:

$P (X > F(m, n, \alpha)) = \int_{F(m, n, \alpha)}^{\infty} f_{m, n}(x) \mathrm{d}x = \alpha$

Externé odkazy

• Tabuľka kritických hodnôt F-rozdelenia

Zdroje

• RIEČAN, Beloslav; LAMOŠ, František; LENÁRT, Cyril. Pravdepodobnosť a matematická štatistika. Bratislava : ALFA – vydavateľstvo technickej a ekonomickej literatúry Bratislava, 1984. Kapitola Popisná štatistika a výberové metódy – Výber z normálneho rozdelenia, s. 320. (slovenčina)
• LAMOŠ, František; POTOCKÝ, Rastislav. Pravdepodobnosť a matematická štatistika - Štatistické analýzy. Bratislava : Vydavateľstvo Univerzity Komenského v Bratislave, 1998. ISBN 80-223-1262-2. Kapitola Niektoré typy rozdelenia pravdepodobnosti, s. 344 strán. (slovenčina)
• JANKOVÁ, Katarína; PÁZMAN, Andrej. Pravdepodobnosť a štatistika. Bratislava : Vydavateľstvo UK, 2011. ISBN 978-80-223-2931-6. Kapitola Dôležité rozdelenia odvodené od normálneho, s. 150. (slovenčina)
• BARNOVSKÁ, Mária, kol.Cvičenia z matematickej analýzy III.. [s.l.] : MFF UK, 2005. Dostupné online. Kapitola Parametrické integrály – Eulerove integrály, s. 156. (slovenčina)