Gaussova veta

z Wikipédie, slobodnej encyklopédie
Prejsť na: navigácia, hľadanie

Gaussova veta (iné názvy: (Gaussova-)Ostrogradského (integrálna) veta, Gaussova-Ostrogradského formula, Greenova(-Ostrogradského) veta, Greenova transformácia, (Gaussova) veta o divergencii) je veta matematickej analýzy, ktorá uvádza do súvislosti tok vektorového poľa A(r) uzavretou jednoducho súvislou hladkou plochou Σ s integrálom cez objem V plochou uzavrený z divergencie daného vektorového poľa.

\oint_\Sigma \mathbf{A}\cdot\mathrm{d}\mathbf{S} = \int_V ({\nabla\cdot\mathbf{A}}) \mathrm{d}V ,

kde \nabla \cdot \mathbf{A} je divergencia vektorového poľa A(r), ∇ je operátor nabla a plocha Σ = ∂V je hranice kompaktnej množiny V, ktorá je orientovaná vektorom vonkajšej normály, tzn. \mathrm{d}\mathbf{S} = \mathbf{n}\mathrm{d}S a n je vektor vonkajšej normály plochy, a je regulárna a otvorená množina.


Z fyzikálneho hľadiska vyjadruje Gaussova veta skutočnosť, že tok vektoru A uzavrenou plochou je rovný objemovému integrálu z divergencie vektoru A.

Pre skalárnu veličinu f možno zaviesť jej tok uzavretou plochou S vzťahom

\int_V \nabla f \mathrm{d}V = \oint_S f \mathrm{d}\mathbf{S}

Pre tenzorovú veličinu T_{ij} využijeme skutočnosti, že po kontrakcii je T_{ij}\mathrm{d}S_j tenzorom prvého stupňa. Gaussovu vetu pre tenzorovú veličinu potom môžeme vyjadriť ako

\int_V \mathrm{d}V \frac{\part}{\part x_j} T_{ij} = \oint_S T_{ij} \mathrm{d}S_j

Okrem uvedených vzťahov platí pre vektor A tiež vzťah

\int_V \mathrm{rot}\, \mathbf{A} \mathrm{d}V = - \oint_S \mathbf{A} \times \mathrm{d}\mathbf{S}