Geometrické rozdelenie

Geometrické rozdelenie (iné názvy: geometrické pravdepodobnostné rozdelenie, geometrické rozdelenie pravdepodobnosti) je v teórii pravdepodobnosti a štatistike diskrétne rozdelenie pravdepodobnosti. Je to špeciálny prípad negatívneho binomického rozdelenia, pokiaľ v tomto rozdelení položíme parameter $k$ rovný 1.

Uvažujme postupnosť nezávislých pokusov. Pri každom z týchto pokusov máme rovnakú pravdepodobnosť, že nastane nami sledovaná náhodná udalosť A, a túto pravdepodobnosť označme $p$. Tieto pokusy potom opakujeme do vtedy, kým po prvýkrát nenastane udalosť A. Teda, ak máme $k$ pokusov, tak pri $(k-1)$ pokusoch udalosť A nenastala, nastala až pri k-tom pokuse.

Definícia

Diskrétna náhodná premenná $X$ má geometrické rozdelenie s parametrom $p$, kde $p \in (0, 1)$, ak nadobúda hodnoty $k = 0, 1, 2, ...$ s pravdepodobnosťami $p_{0}, p_{1}, p_{2}, ...$, pričom platí nasledovný vzťah:

$p_{k}=P(X=k)=p(1-p)^{k}$

Označujeme:

• $X \sim Ge(p)$
• $X \sim Geo(p)$
• $X \sim Geom(p)$

Základné charakteristiky rozdelenia

• Stredná hodnota:

$\operatorname{E}(X)= \frac{1-p}{p}$

• Rozptyl:

$\operatorname{D}(X) = \frac{1-p}{p^2}$

• Koeficient šikmosti:

$\gamma_{1} = \frac{2-p}{\sqrt{1-p}}$

• Momentová vytvárajúca funkcia:

$m(t) = \frac{p}{1-e^t(1-p)}$

Zdroje

• JANKOVÁ, Katarína; PÁZMAN, Andrej. Pravdepodobnosť a štatistika. Bratislava : Vydavateľstvo UK, 2011. ISBN 978-80-223-2931-6. Kapitola Základné rozdelenia diskrétnych náhodných veličín a ich stredné hodnoty, s. 150.
• PACÁKOVÁ, Viera. Aplikovaná poistná štatistika. Bratislava : IURA EDITION, 2004. ISBN 80-8078-004-8. Kapitola Pravdepodobnostné rozdelenia v poisťovníctve, s. 261.