Geometrické rozdelenie

z Wikipédie, slobodnej encyklopédie
Prejsť na: navigácia, hľadanie

Geometrické rozdelenie (iné názvy: geometrické pravdepodobnostné rozdelenie, geometrické rozdelenie pravdepodobnosti) je v teórii pravdepodobnosti a štatistike diskrétne rozdelenie pravdepodobnosti. Je to špeciálny prípad negatívneho binomického rozdelenia, pokiaľ v tomto rozdelení položíme parameter k rovný 1.

Uvažujme postupnosť nezávislých pokusov. Pri každom z týchto pokusov máme rovnakú pravdepodobnosť, že nastane nami sledovaná náhodná udalosť A, a túto pravdepodobnosť označme p. Tieto pokusy potom opakujeme do vtedy, kým po prvýkrát nenastane udalosť A. Teda, ak máme k pokusov, tak pri (k-1) pokusoch udalosť A nenastala, nastala až pri k-tom pokuse.

Definícia[upraviť | upraviť zdroj]

Diskrétna náhodná premenná X má geometrické rozdelenie s parametrom p, kde p \in (0, 1), ak nadobúda hodnoty k = 0, 1, 2, ... s pravdepodobnosťami p_{0}, p_{1}, p_{2}, ..., pričom platí nasledovný vzťah:

p_{k}=P(X=k)=p(1-p)^{k}

Označujeme:

  • X \sim Ge(p)
  • X \sim Geo(p)
  • X \sim Geom(p)

Základné charakteristiky rozdelenia[upraviť | upraviť zdroj]

\operatorname{E}(X)= \frac{1-p}{p}
\operatorname{D}(X) = \frac{1-p}{p^2}
\gamma_{1} = \frac{2-p}{\sqrt{1-p}}
m(t) = \frac{p}{1-e^t(1-p)}

Zdroje[upraviť | upraviť zdroj]

  • JANKOVÁ, Katarína; PÁZMAN, Andrej. Pravdepodobnosť a štatistika. Bratislava : Vydavateľstvo UK, 2011. ISBN 978-80-223-2931-6. Kapitola Základné rozdelenia diskrétnych náhodných veličín a ich stredné hodnoty, s. 150.
  • PACÁKOVÁ, Viera. Aplikovaná poistná štatistika. Bratislava : IURA EDITION, 2004. ISBN 80-8078-004-8. Kapitola Pravdepodobnostné rozdelenia v poisťovníctve, s. 261.