Geometrický priemer

Geometrický priemer $\bar x_G$ je druh priemeru.

Vzorec

Majme súbor s rozsahom n, vytvorený kladnými hodnotami. Geometrický priemer z nevytriedených dát je n– tá odmocnina z ich súčinu, teda

$\bar x_G=\sqrt[n]{x_1\cdot x_2\cdots x_n}=\left(\, \prod_{i=1}^{n} x_i \right)^{\frac{1}{n}}$

Napríklad, geometrický priemer čísel 2, 3, 6, 7, 7, 8, 9, 9, 9, 10 je

$\bar x_G=\sqrt[10]{2\cdot3\cdot6\cdot7\cdot7\cdot8\cdot9\cdot9\cdot9\cdot10}=\sqrt[10]{102,876480} \approx 6,3$

Použitie

Je zrejmé, že geometrický priemer má zmysel iba pre dáta, v ktorých sú všetky hodnoty kladné čísla.

Geometrický priemer sa na rozdiel od aritmetického priemeru používa na koeficienty, napr. na výpočet priemerného rastu: ak rast cien bol postupne 20 %, 10 %, potom 15 % pokles a 10 % rast, tak priemerný rast sa rovná (1,20 · 1,10 · 0,85 · 1,10)^1/4 ≅ 1,054, čiže priemerný rast je približne 5,4 %. Toto číslo vyjadruje, že výsledná cena by bola taká istá aj v prípade, ak by rast bol konštantný, každý rok 5,4 % (lebo 1,054⁴ ≅ 1,2 · 1,1 · 0,85 · 1,1).

Geometrický priemer je vždy menší alebo rovný ako aritmetický priemer rovnakého súboru dát (a rovná sa mu iba v prípade, ak sú všetky hodnoty v súbore rovnaké). To umožňuje definovať aritmeticko-geometrický priemer, ktorý vždy leží medzi aritmetickým a geometrickým priemerom.

Aritmetický priemer logaritmov

Geometrický priemer je definovaný ako

$\left(\prod_{i=1}^n x_i\right)^{\frac{1}{n}}$

Pri použití logaritmov možno súčiny zmeniť na súčty a umocňovanie na súčin:

$\exp\left[\frac1n\sum_{i=1}^n \ln x_i\right]$

Tento vzorec opisuje aritmetický priemer logaritmov dát, na ktorý sa potom aplikuje umocnenie. To znamená, že geometrický priemer možno chápať ako zovšeobecnený priemer s transformáciou f(x) = ln x.