Grupa (matematika)

z Wikipédie, slobodnej encyklopédie
Prejsť na: navigácia, hľadanie

Grupa je jednou zo základných algebraických štruktúr. V sekcii „Definícia“ možno nájsť formálnu definíciu grupy. Sekcia „Základné vysvetlenie“ podáva informácie o motivácii k štúdiu grúp aj pre laika.

Základné vysvetlenie[upraviť | upraviť zdroj]

Všimnime si napríklad množinu všetkých celých čísel, teda čísel ako sú -10, -4, 0, 1, 2, 65, atď. Na tejto množine je definovaná operácia sčítanie. Zaoberajme sa ďalej len operáciou sčítanie a množinou celých čísiel. Všimnime si pre štandardné sčítanie niekoľko vlastností:

  1. Sčítanie je na celých číslach asociatívna operácia. Teda napríklad platí, že 3 + (5 + 7) = (3 + 5) + 7. Poloha zátvoriek teda pre asociatívne operácie, ako napríklad „bežné“ sčítanie nie je dôležitá.
  2. Ďalej pre operáciu sčítanie a celé čísla platí, že vzhľadom na danú operáciu existuje neutrálny prvok, ktorým je pri „bežnom sčítaní“ číslo 0. Inak povedané, neutrálny prvok je prvok, pre ktorý platí: x + 0 = x = 0 + x, teda neutrálny prvok „nezmení hodnotu“ pôvodného čísla.
  3. Ku každému celému číslu existuje opačné číslo. Napríklad opačné číslo k číslu 689 je pre bežné sčítanie, ktorým sa zaoberáme, číslo -689. Pre číslo(označme ho x) a k nemu opačné číslo(označme ho y) platí: x + y = neutrálny prvok. Teda, ak číslo sčítame s opačným číslom, dostávame neutrálny prvok (v tomto prípade 0).
    Poznámka: y sa v algebre, aby bolo jasné ku ktorému číslu to je opačné číslo zvykne označovať značkou x-1. Neoznačujeme tým však bežnú operáciu mocnina.

Tieto 3 vlastnosti, teda asociatívnosť, existencia neutrálneho prvku a inverzných prvkov sú v matematike veľmi časté. Preto je užitočné študovať ich spoločné vlastnosti a vzťahy s inými štruktúrami. Pre podobné dvojice množín a operácií sa prijal spoločný názov grupa.

Základné príklady[upraviť | upraviť zdroj]

  • Množina {... ,-12, -9, -6, -3, 0, 3, 6, 9, 12, ...} a operácia sčítania tieto vlastnosti spĺňajú.
  • Množina {... 1/625, 1/125, 1/25, 1/5, 1, 5, 25, 125, 625, ...} a operácia násobenia tieto vlastnosti spĺňajú (číslo 1 je neutrálny prvok a napríklad k číslu 125 existuje opačné číslo: 1/125).
  • Množina {... ,-12, -9, -6, -3, 3, 6, 9, 12, ...} a operácia sčítania tieto vlastnosti nespĺňajú, pretože neexistuje neutrálny prvok.
  • Množina {... ,-12, -9, -6, 0, 3, 6, 9, 12, ...} a operácia sčítania tieto vlastnosti nespĺňajú, pretože neexistuje opačné číslo k číslu 3.

Definícia[upraviť | upraviť zdroj]

Nasledujúca definícia formalizuje závery zo sekcie „Základné vysvetlenie“

Grupa (G, \circ) je usporiadaná dvojica, kde G je neprázdna množina a \circ je binárna operácia na tejto množine, pričom

Ak je binárna operácia \circ navyše komutatívna, tak hovoríme o komutatívnej alebo abelovskej grupe.

Ďalšie vlastnosti[upraviť | upraviť zdroj]

\forall a,b,c \in G: a \circ b = a \circ c \Rightarrow b = c

\forall a,b,c \in G: a \circ c = b \circ c \Rightarrow a = b

  • V grupe majú riešenie všetky rovnice typu

 a \circ x = b

 y \circ a = b

pre všetky  a, b \in G

Podgrupy[upraviť | upraviť zdroj]

Grupa (H,\ast) sa nazýva podgrupou grupy (G,\circ), ak H je podmnožinou G a platí \forall a,b \in H: a\ast b = a\circ b.

Ďalšie príklady[upraviť | upraviť zdroj]

  • množina celých čísel \mathbb{Z} s klasickou operáciou sčítania + tvorí grupu (\mathbb{Z},+), ktorú nazývame aj aditívna grupa celých čísel,
  • množina racionálnych čísel okrem čísla 0 \mathbb{Q} s k operáciou násobenia \cdot tvorí grupu (\mathbb{Q}\setminus\{0\},\cdot), ktorej sa hovorí aj multiplikatívna grupa racionálnych čísel,
  • dôležitou triedou grúp sú predovšetkým v informatike v teórii šifrovania tzv. grupy zvyškových tried \mathbb{Z}_n s operáciou \oplus a \mathbb{Z}_n\setminus\{0\} s operáciou \otimes (ak n je prvočíslo),
  • ústrednú úlohu pri štúdiu grúp hrá grupa všetkých bijekcií nejakej množiny na tú istú množinu s operáciou skladania zobrazení označovaná ako grupa transformácií a jej špeciálne varianty grupa permutácií a alternujúca grupa (Cayleyho veta vraví, že každá grupa je izomorfná s nejakou grupou transformácií),
  • všetky binárne bijektívne funkcie (zobrazenia) n prvkovej množiny s operáciou skladania permutácií vytvárajú grupu, ktorá sa nazýva symetrická grupa rádu n! (n faktoriál)