Grupa transformácií

Nech ${\mathcal {}}X$ je ľubovoľná množina a nech ${\mathcal {P}}(X)$ značí množinu bijektívnych zobrazení $f:X\rightarrow X$. Ľubovoľná podmnožina ${\mathcal {}}G$ množiny ${\mathcal {P}}(X)$, ktorá je uzavretá vzhľadom na skladanie zobrazení a vzhľadom na inverziu sa nazýva grupa transformácií ${\mathcal {}}X$. Grupová operácia je daná skladaním zobrazení $(f,g)\mapsto f\circ g$.

Že ${\mathcal {}}G$ je uzavretá vzhľadom na skladanie zobrazení a vzhľadom na inverziu znamená:

Ak ${\mathcal {}}f,g\in G$, tak ${\mathcal {}}f\circ g\in G$,

ak ${\mathcal {}}f\in G$, tak ${\mathcal {}}f^{-1}\in G$.

Skladanie zobrazení je asociatívna operácia, o čom sa možno ľahko presvedčiť výpočtom. Neutrálny prvok je identita. Inverzný prvok k zobrazeniu ${\mathcal {}}f$ je zobrazenie ${\mathcal {}}f^{-1}$ definované ako ${\mathcal {}}f^{-1}(x)=y$ ak ${\mathcal {}}x=f(y)$. Také ${\mathcal {}}y$ existuje a je jednoznačne dané, čo vyplýva z definície bijektívneho zobrazenia.

Príklad

Množina ${\mathcal {P}}(X)$ všetkých bijekcií ${\mathcal {}}X$ s operáciou skladania zobrazení $\circ$ je grupou transformácií ${\mathcal {}}X$.

Literatúra

Katriňák, T., Gavalec, M., Gedeonová, E., Smítal, J.. Algebra a teoretická aritmetika. 1. Bratislava : Alfa, 1985.