Grupa transformácií

Nech $\mathcal{} X$ je ľubovoľná množina a nech $\mathcal{P} (X)$ značí množinu bijektívnych zobrazení $f : X \rightarrow X$. Ľubovoľná podmnožina $\mathcal{}G$ množiny $\mathcal{P}(X)$, ktorá je uzavretá vzhľadom na skladanie zobrazení a vzhľadom na inverziu sa nazýva grupa transformácií $\mathcal{}X$. Grupová operácia je daná skladaním zobrazení $(f,g) \mapsto f \circ g$.

Že $\mathcal{}G$ je uzavretá vzhľadom na skladanie zobrazení a vzhľadom na inverziu znamená:

Ak $\mathcal{}f,g \in G$, tak $\mathcal{}f \circ g \in G$,

ak $\mathcal{}f \in G$, tak $\mathcal{}f^{-1} \in G$.

Skladanie zobrazení je asociatívna operácia, o čom sa možno ľahko presvedčiť výpočtom. Neutrálny prvok je identita. Inverzný prvok k zobrazeniu $\mathcal{}f$ je zobrazenie $\mathcal{}f ^{-1}$ definované ako $\mathcal{}f^{-1} (x) = y$ ak $\mathcal{}x = f(y)$. Také $\mathcal{}y$ existuje a je jednoznačne dané, čo vyplýva z definície bijektívneho zobrazenia.

Príklad

Množina $\mathcal{P}(X)$ všetkých bijekcií $\mathcal{}X$ s operáciou skladania zobrazení $\circ$ je grupou transformácií $\mathcal{}X$.

Literatúra

Katriňák, T., Gavalec, M., Gedeonová, E., Smítal, J.. Algebra a teoretická aritmetika. 1. Bratislava : Alfa, 1985.