Hotellingovo rozdelenie

z Wikipédie, slobodnej encyklopédie
Prejsť na: navigácia, hľadanie

Hotellingovo rozdelenie (iné názvy: Hotellingovo pravdepodobnostné rozdelenie, Hotellingovo rozdelenie pravdepodobnosti, Hotellingovo T^2-rozdelenie, Hotellingovo rozdelenie T^2, Hotellingovo rozdelenie T, Hotellingovo T^2, Hotellingovo T, Hotellingovo zovšeobecnené Studentovo rozdelenie) je v teórii pravdepodobnosti a matematickej štatistike viacrozmerné rozdelenie pravdepodobnosti. Hottelingovo rozdelenie je zovšeobecnením Studentovho t-rozdelenia pre p-rozmerný priestor.

Hotellingovo T^2 rozdelenie má v matematickej štatistike významné postavenie a využitie. Najčastejšie sa používa pri testovaní štatistických hypotéz, vo viacrozmerných štatistických analýzach. Rozdelenie je pomenované podľa matematikovi Haroldovi Hotellingovi.

Definícia[upraviť | upraviť zdroj]

Majme štvorcovú regulárnu maticu A p-teho stupňa a p-rozmerný vektor b. Nech má táto matica p-rozmerné Wishartovo rozdelenie s m stupňami voľnosti, teda: {\mathbf A} \sim W_p({\mathbf I}, m) a daný vektor nech má p-rozmerné normálne rozdelenie, teda: {\mathbf b} \sim N_p({\mathbf 0}, {\mathbf I}). Potom premenná \alpha definovaná vzťahom:

\alpha = m{\mathbf b^\prime} {\mathbf A}^{-1}{\mathbf b}

má Hotellingovo T^2 rozdelenie s parametrami p a m.

Označenie:

  • \operatorname\alpha \sim T^2(p, m)

Ďalšie vzťahy[upraviť | upraviť zdroj]

Majme matice A a B, pričom Ap-rozmerné normálne rozdelenie s parametrami {\mathbf\mu} a {\mathbf\Sigma} a B nech má p-rozmerné Wishartovo rozdelenie s parametrom {\mathbf\Sigma} a m stupňami voľnosti, teda: {\mathbf A} \sim N_p({\mathbf\mu}, {\mathbf\Sigma}) a {\mathbf B} \sim W_p({\mathbf\Sigma}, m), pričom A a B sú nezávislé. Potom premenná vyjadrená nasledovným vzťahom:

Y = m({\mathbf A} - {\mathbf\mu})^\prime {\mathbf B}^{-1}({\mathbf A} - {\mathbf\mu})

má Hotellingovo T^2 rozdelenie s parametrami p a m.

Existuje vzťah medzi Hotellingovým T^2 rozdelením a Fisherovým-Snedecorovým rozdelením, a to:

T^2(p, m) = \frac{mp}{m-p+1}F(p, m-p+1)

Teda z uvedeného vzťahu vidíme, že pokiaľ položíme parameter p = 1, tak dostávame rovnosť medzi týmito dvomi rozdeleniami, teda:

\operatorname T^2(1, m) = F(1, m)

Zdroje[upraviť | upraviť zdroj]

  • LAMOŠ, František; POTOCKÝ, Rastislav. Pravdepodobnosť a matematická štatistika - Štatistické analýzy. Bratislava : Vydavateľstvo Univerzity Komenského v Bratislave, 1998. ISBN 80-223-1262-2. Kapitola Viacrozmerné rozdelenie, s. 344 strán.
  • Tento článok je čiastočný alebo úplný preklad článku Hotelling's T-squared distribution na anglickej Wikipédii.