Hotellingovo rozdelenie

Hotellingovo rozdelenie (iné názvy: Hotellingovo pravdepodobnostné rozdelenie, Hotellingovo rozdelenie pravdepodobnosti, Hotellingovo $T^2$-rozdelenie, Hotellingovo rozdelenie $T^2$, Hotellingovo rozdelenie T, Hotellingovo $T^2$, Hotellingovo T, Hotellingovo zovšeobecnené Studentovo rozdelenie) je v teórii pravdepodobnosti a matematickej štatistike viacrozmerné rozdelenie pravdepodobnosti. Hottelingovo rozdelenie je zovšeobecnením Studentovho t-rozdelenia pre $p$-rozmerný priestor.

Hotellingovo $T^2$ rozdelenie má v matematickej štatistike významné postavenie a využitie. Najčastejšie sa používa pri testovaní štatistických hypotéz, vo viacrozmerných štatistických analýzach. Rozdelenie je pomenované podľa matematikovi Haroldovi Hotellingovi.

Definícia

Majme štvorcovú regulárnu maticu A $p$-teho stupňa a $p$-rozmerný vektor b. Nech má táto matica $p$-rozmerné Wishartovo rozdelenie s $m$ stupňami voľnosti, teda: ${\mathbf A} \sim W_p({\mathbf I}, m)$ a daný vektor nech má p-rozmerné normálne rozdelenie, teda: ${\mathbf b} \sim N_p({\mathbf 0}, {\mathbf I})$. Potom premenná $\alpha$ definovaná vzťahom:

$\alpha = m{\mathbf b^\prime} {\mathbf A}^{-1}{\mathbf b}$

má Hotellingovo $T^2$ rozdelenie s parametrami $p$ a $m$.

Označenie:

• $\operatorname\alpha \sim T^2(p, m)$

Ďalšie vzťahy

Majme matice A a B, pričom A má $p$-rozmerné normálne rozdelenie s parametrami ${\mathbf\mu}$ a ${\mathbf\Sigma}$ a B nech má $p$-rozmerné Wishartovo rozdelenie s parametrom ${\mathbf\Sigma}$ a $m$ stupňami voľnosti, teda: ${\mathbf A} \sim N_p({\mathbf\mu}, {\mathbf\Sigma})$ a ${\mathbf B} \sim W_p({\mathbf\Sigma}, m)$, pričom A a B sú nezávislé. Potom premenná vyjadrená nasledovným vzťahom:

$Y = m({\mathbf A} - {\mathbf\mu})^\prime {\mathbf B}^{-1}({\mathbf A} - {\mathbf\mu})$

má Hotellingovo $T^2$ rozdelenie s parametrami $p$ a $m$.

Existuje vzťah medzi Hotellingovým $T^2$ rozdelením a Fisherovým-Snedecorovým rozdelením, a to:

$T^2(p, m) = \frac{mp}{m-p+1}F(p, m-p+1)$

Teda z uvedeného vzťahu vidíme, že pokiaľ položíme parameter p = 1, tak dostávame rovnosť medzi týmito dvomi rozdeleniami, teda:

$\operatorname T^2(1, m) = F(1, m)$

Zdroje

• LAMOŠ, František; POTOCKÝ, Rastislav. Pravdepodobnosť a matematická štatistika - Štatistické analýzy. Bratislava : Vydavateľstvo Univerzity Komenského v Bratislave, 1998. ISBN 80-223-1262-2. Kapitola Viacrozmerné rozdelenie, s. 344 strán. (slovenčina)
• Tento článok je čiastočný alebo úplný preklad článku Hotelling's T-squared distribution na anglickej Wikipédii.