Hromadný bod

z Wikipédie, slobodnej encyklopédie
Prejsť na: navigácia, hľadanie

Hromadný bod množiny M je bod, v okolí ktorého sa hromadí nekonečne veľa bodov množiny M. Podstata hromadného bodu nachádza svoj zmysel pri definovaní spojitých štruktúr. Príkladom môže byť limita a derivácia, ktoré vo svojej definícií obsahujú pojem hromadného bodu, v ktorého okolí má zmysel uvažovať proces približovania sa k určitej hodnote.

Definícia hromadného bodu[upraviť | upraviť zdroj]

Nech x_0\in\mathbb{R}. Hovoríme, že x_0 je hromadný bod množiny M práve vtedy, keď pre každé jeho prstencové okolie \mathcal{P}(x_0) existuje bod x\in M s vlastnosťou x\in\mathcal{P}\cap M a zároveň x\ne x_0.

Definíciu možno chápať tak, že v ľubovoľne malom okolí hromadného bodu, vždy existujú body množiny M. V samotnej definícii limity sa pod zápisom \lim_{x\to a}f(x) myslí, že bod a je hromadný bod definičného oboru funkcie f. Problém by mohol nastať v prípade, že bod a by nebol hromadným bodom definičného oboru funkcie. V tomto prípade by bolo nezmyselné definovať proces približovania k nejakej hodnote, pre ktorú funkcia nie je definovaná.

Príklad[upraviť | upraviť zdroj]

Možno dokázať, že množina M=\{1/n;\;n\in\mathbb{N}\} má hromadný bod n_0=0. Stačí podľa definície zvoliť prstencové okolie bodu 0, \mathcal{P}(0):=(0;\xi). Dokážeme, že pre ľubovoľne malé \xi>0 existuje prvok m\in M s vlastnosťami podľa definície. Majú platiť nasledovné nerovnosti

0<\frac{1}{n}<\xi

Keďže množina je obmedzená pre prirodzené čísla, stačí písať jednu nerovnosť

\frac{1}{n}<\xi

Jednoduchou úvahou možno zistiť, že

\frac{1}{\xi}<n

Preto stačí zvoliť vyhovujúci bod

m=\frac{1}{\left\lceil\frac{1}{\xi}\right\rceil+1}

Týmto spôsobom sa našlo vyhovujúce m\in M, ktoré leží v ľubovoľnom okolí bodu 0 a zároveň nie je rovné 0.