Hromadný bod

Hromadný bod množiny M je bod, v okolí ktorého sa hromadí nekonečne veľa bodov množiny M. Podstata hromadného bodu nachádza svoj zmysel pri definovaní spojitých štruktúr. Príkladom môže byť limita a derivácia, ktoré vo svojej definícií obsahujú pojem hromadného bodu, v ktorého okolí má zmysel uvažovať proces približovania sa k určitej hodnote.

Definícia hromadného bodu

Nech $x_0\in\mathbb{R}$. Hovoríme, že $x_0$ je hromadný bod množiny $M$ práve vtedy, keď pre každé jeho prstencové okolie $\mathcal{P}(x_0)$ existuje bod $x\in M$ s vlastnosťou $x\in\mathcal{P}\cap M$ a zároveň $x\ne x_0$.

Definíciu možno chápať tak, že v ľubovoľne malom okolí hromadného bodu, vždy existujú body množiny M. V samotnej definícii limity sa pod zápisom $\lim_{x\to a}f(x)$ myslí, že bod a je hromadný bod definičného oboru funkcie f. Problém by mohol nastať v prípade, že bod a by nebol hromadným bodom definičného oboru funkcie. V tomto prípade by bolo nezmyselné definovať proces približovania k nejakej hodnote, pre ktorú funkcia nie je definovaná.

Príklad

Možno dokázať, že množina $M=\{1/n;\;n\in\mathbb{N}\}$ má hromadný bod $n_0=0$. Stačí podľa definície zvoliť prstencové okolie bodu 0, $\mathcal{P}(0):=(0;\xi)$. Dokážeme, že pre ľubovoľne malé $\xi>0$ existuje prvok $m\in M$ s vlastnosťami podľa definície. Majú platiť nasledovné nerovnosti

$0<\frac{1}{n}<\xi$

Keďže množina je obmedzená pre prirodzené čísla, stačí písať jednu nerovnosť

$\frac{1}{n}<\xi$

Jednoduchou úvahou možno zistiť, že

$\frac{1}{\xi}<n$

Preto stačí zvoliť vyhovujúci bod

$m=\frac{1}{\left\lceil\frac{1}{\xi}\right\rceil+1}$

Týmto spôsobom sa našlo vyhovujúce $m\in M$, ktoré leží v ľubovoľnom okolí bodu 0 a zároveň nie je rovné 0.