Hromadný bod

z Wikipédie, slobodnej encyklopédie

Hromadný bod množiny M je zjednodušene povedané bod, v okolí ktorého sa hromadí nekonečne veľa bodov množiny M. Podstata hromadného bodu nachádza svoj zmysel pri definovaní spojitých štruktúr. Príkladom môže byť limita a derivácia, ktoré vo svojej definícií obsahujú pojem hromadného bodu, v ktorého okolí má zmysel uvažovať proces približovania sa k určitej hodnote.

[upraviť] Definícia hromadného bodu

Nech $x_0\in\mathbb{R}$ . Hovoríme, že $x 0$ je hromadný bod množiny $M$ práve vtedy, keď pre každé jeho prstencové okolie $\mathcal{P}(x_0)$ existuje bod $x\in M$ s vlastnosťou $x\in\mathcal{P}\cap M$ a zároveň $x\ne x_0$ .
Definícia možno pozvoľne chápať tak, že v ľubovoľne malom okolí hromadného bodu, vždy existujú body množiny M. V samotnej definícii limity sa pod zápisom $\lim_{x\to a}f(x)$ myslí, že bod a je hromadný bod definičného oboru funkcie f. Problém by mohol nastať v prípade, že bod a by nebol hromadným bodom definičného oboru funkcie. V tomto prípade by bolo nezmyselné definovať proces približovania k nejakej hodnote, pre ktorú funkcia nie je definovaná.

[upraviť] Príklad

Jednoduchým dôkazom možno ukázať, že množina $M=\{1/n;\;n\in\mathbb{N}\}$ má hromadný bod $n 0 = 0$ . Stačí podľa definície zvoliť prstencové okolie bodu 0, $\mathcal{P}(0):=(0;\xi)$ . Dokážeme, že pre ľubovoľne malé $ξ > 0$ existuje prvok $m\in M$ s vlastnosťami podľa definície. Majú platiť nasledovné nerovnosti