Hypotéza kontinua

Hypotéza kontinua bola veľkým orieškom pre matematikov 20. storočia. Na jej počiatku stála nasledovná úvaha: Nech $\mathbb{N}$ je množina prirodzených čísel a $\mathbb{R}$ množina reálnych čísel. Klasickou cantorovou diagonálnou metódou sa dá ukázať, že množina $\mathbb{N}$ je "subvalentná" množine $\mathbb{R}$, tj. má menšiu mohutnosť (kardinalitu, ľudovo "má menej prvkov"), značíme $|\mathbb{N}| < |\mathbb{R}|$ . Otázka znie, či existuje nejaká množina $X$, pre ktorú by platilo $|\mathbb{N}| < |X| < |\mathbb{R}|$, t. j. či existuje nejaká nespočítateľná množina, ktorá má menšiu mohutnosť než kontinuum (množina reálnych čísel).

Kurt Gödel dokázal, že existencia takejto množiny sa nedá z axiómov Zermelo-Fraenkelovej teórie množín vyvrátiť.

Hypotéza kontinua tvrdí, že množina $X$ neexistuje.

Americký matematik P. Cohen dokázal, že hypotéza kontinua nezávisí od ostatných axióm teórie množín.