Hypotéza kontinua

z Wikipédie, slobodnej encyklopédie
Prejsť na: navigácia, hľadanie

Hypotéza kontinua bola veľkým orieškom pre matematikov 20. storočia. Na jej počiatku stála nasledovná úvaha: Nech \mathbb{N} je množina prirodzených čísel a \mathbb{R} množina reálnych čísel. Klasickou cantorovou diagonálnou metódou sa dá ukázať, že množina \mathbb{N} je "subvalentná" množine \mathbb{R}, tj. má menšiu mohutnosť (kardinalitu, ľudovo "má menej prvkov"), značíme |\mathbb{N}| < |\mathbb{R}| . Otázka znie, či existuje nejaká množina X, pre ktorú by platilo |\mathbb{N}| < |X| < |\mathbb{R}|, t. j. či existuje nejaká nespočítateľná množina, ktorá má menšiu mohutnosť než kontinuum (množina reálnych čísel).

Kurt Gödel dokázal, že existencia takejto množiny sa nedá z axiómov Zermelo-Fraenkelovej teórie množín vyvrátiť.

Hypotéza kontinua tvrdí, že množina X neexistuje.

Americký matematik P. Cohen dokázal, že hypotéza kontinua nezávisí od ostatných axióm teórie množín.