Implikácia

z Wikipédie, slobodnej encyklopédie
Prejsť na: navigácia, hľadanie

Implikácia (z lat. implicare – úzko spájať) je logická operácia tvoriaca zložený výrok z dvoch výrokov pomocou logickej spojky, ktorá zodpovedá spojke ak - tak.

Používa sa pre ňu symbol \Rightarrow \!\, alebo \rightarrow \!\,.

Definícia[upraviť | upraviť zdroj]

Pre vstupy A a B vyzerá pravdivostná tabuľka implikácie takto (0 označuje nepravdivé tvrdenie, 1 označuje pravdivé tvrdenie):

A B A \Rightarrow \!\, B
0 0 1
0 1 1
1 0 0
1 1 1

Vlastnosti[upraviť | upraviť zdroj]

  • ( A \Rightarrow B) = ( \neg A \vee B) – náhrada implikácie disjunkciou
  • ( A \Rightarrow B) = ( \neg B \Rightarrow \neg A )obmena implikácie

Výraz na pravej strane rovnosti v druhej z hore uvedených vlastností sa nazýva obmena implikácie alebo obmenená implikácia. Táto vlastnosť hovorí, že ak sa podarí dokázať, že z B nevyplýva negácia A, tak je dokázaná pravdivosť pôvodnej implikácia (z A vyplýva B). To sa využíva v technike matematického nepriameho dôkazu.

Význam a príklady[upraviť | upraviť zdroj]

Implikácia významovo zodpovedá podmienkovej vete v bežnom rozhovore „ak A, potom B“. Z toho tiež vyplývajú jej vlastnosti tak, ako sú v pravdivostnej tabuľke.

Príklad[upraviť | upraviť zdroj]

Ak bude dnes pršať, tak pôjdem do práce.

Musíme si uvedomiť, že táto veta môže byť pravdivá, aj keď nepôjdem do práce - stačí, aby nepršalo a podľa prvého riadku pravdivostnej tabuľky budem mať stále pravdu.
Táto veta nevypovedá nič o tom, čo sa stane, keď nebude pršať - v takom prípade (prvý a druhý riadok pravdivostnej tabuľky) môžem do práce neísť alebo ísť a nikto mi nemôže tvrdiť, že som klamal. Určite existuje mnoho ľudí, ktorí chodia do práce, aj keď neprší - a nemusia byť kvôli tomu všetci klamári.

Súvislosť implikácie s matematickými dôkazmi[upraviť | upraviť zdroj]

Z vlastností implikácie vyplýva jej užitočnosť pre prípad, keď sa chce presvedčiť, že výrok  X je pravdivý a mám už nejaké iné výroky  A_1, A_2, \ldots,A_n , o ktorých pravdivosti som presvedčený.
Stačí mi dokázať pravdivosť výroku:
 (A_1 \and A_2 \and \ldots \and A_n) \Rightarrow X
Ak sa to podarí, tak podľa pravdivostnej tabuľky musí byť pravdivý i výrok X - to je podstata priameho dôkazu.

Pozri aj[upraviť | upraviť zdroj]

Externé odkazy[upraviť | upraviť zdroj]

  • FILIT – zdroj, z ktorého pôvodne čerpal tento článok.