Implikácia

Implikácia (z lat. implicare – úzko spájať) je logická operácia tvoriaca zložený výrok z dvoch výrokov pomocou logickej spojky, ktorá zodpovedá spojke ak - tak.

Používa sa pre ňu symbol $\Rightarrow \!\,$ alebo $\rightarrow \!\,$.

Definícia

Pre vstupy A a B vyzerá pravdivostná tabuľka implikácie takto (0 označuje nepravdivé tvrdenie, 1 označuje pravdivé tvrdenie):

A	B	A $\Rightarrow \!\,$ B
0	0	1
0	1	1
1	0	0
1	1	1

Vlastnosti

• $(A\Rightarrow B)=(\neg A\vee B)$ – náhrada implikácie disjunkciou
• $(A\Rightarrow B)=(\neg B\Rightarrow \neg A)$ – obmena implikácie

Výraz na pravej strane rovnosti v druhej z hore uvedených vlastností sa nazýva obmena implikácie alebo obmenená implikácia. Táto vlastnosť hovorí, že ak sa podarí dokázať, že z negácie B vyplýva negácia A, tak je dokázaná pravdivosť pôvodnej implikácia (z A vyplýva B). To sa využíva v technike matematického nepriameho dôkazu.

Význam a príklady

Implikácia významovo zodpovedá podmienkovej vete v bežnom rozhovore „ak A, potom B“. Z toho tiež vyplývajú jej vlastnosti tak, ako sú v pravdivostnej tabuľke.

Príklad

Ak bude dnes pršať, tak pôjdem do práce.

Musíme si uvedomiť, že táto veta môže byť pravdivá, aj keď nepôjdem do práce - stačí, aby nepršalo a podľa prvého riadku pravdivostnej tabuľky budem mať stále pravdu.
Táto veta nevypovedá nič o tom, čo sa stane, keď nebude pršať - v takom prípade (prvý a druhý riadok pravdivostnej tabuľky) môžem do práce neísť alebo ísť a nikto mi nemôže tvrdiť, že som klamal. Určite existuje mnoho ľudí, ktorí chodia do práce, aj keď neprší - a nemusia byť kvôli tomu všetci klamári.

Súvislosť implikácie s matematickými dôkazmi

Z vlastností implikácie vyplýva jej užitočnosť pre prípad, keď sa chce presvedčiť, že výrok $X$ je pravdivý a mám už nejaké iné výroky $A_{1},A_{2},\ldots ,A_{n}$, o ktorých pravdivosti som presvedčený.
Stačí mi dokázať pravdivosť výroku:
$(A_{1}\land A_{2}\land \ldots \land A_{n})\Rightarrow X$
Ak sa to podarí, tak podľa pravdivostnej tabuľky musí byť pravdivý i výrok X - to je podstata priameho dôkazu.

Pozri aj

• Booleova algebra
• Disjunkcia
• Konjunkcia
• Ekvivalencia
• Matematický dôkaz

Externé odkazy

• FILIT – zdroj, z ktorého pôvodne čerpal tento článok.
• Implikácia na pohodovamatematika.sk

Matematický portál