Integrálna rovnica

z Wikipédie, slobodnej encyklopédie
Prejsť na: navigácia, hľadanie

Integrálna rovnica je v matematike rovnica, v ktorej sa neznáma funkcia nachádza pod integrálom. Integrálne rovnice úzko súvisia s diferenciálnymi rovnicami a niektoré problémy môžu byť formulované oboma spôsobmi (napr. Maxwellove rovnice).

Za zakladateľa teórie integrálnych rovníc sa považuje Erik Ivar Fredholm, neskôr k nej významne prispel Vito Volterra.

Klasifikácia integrálnych rovníc[upraviť | upraviť zdroj]

Integrálne rovnice možno rozdeliť na dve základné triedy: Fredholmove integrálne rovnice a Volterrove integrálne rovnice. Pri Fredholmových rovniciach má interval integrácie konštantné hranice, pri Volterrových rovniciach je jedna z hraníc funkciou premennej x.

Ďalšie delenie je na rovnice prvého a druhého druhu. V rovniciach prvého druhu sa neznáma funkcia nachádza len pod integrálom, v rovniciach druhého druhu sa nachádza pod integrálom aj mimo integrálu.

Fredholmove rovnice prvého druhu[upraviť | upraviť zdroj]

Najzákladnejším typom integrálnych rovníc sú Fredholmove rovnice prvého druhu. Sú to integrálne rovnice tvaru

 f(x) = \int_a^b K(x,t)\,\varphi(t)\,dt,

kde \varphi je neznáma funkcia, f je známa funkcia a K je ďalšia funkcia o dvoch premenných, často nazývaná aj jadrová funkcia. Rozsah integrácie má konštantné hranice.

Fredholmove rovnice druhého druhu[upraviť | upraviť zdroj]

Fredholmove rovnice druhého druhu sú rovnice s konštantným rozsahom integrácie a s neznámou funkciou nachádzajúcou sa ako v integrande, tak aj mimo neho. Sú to integrálne rovnice tvaru

 \varphi(x) =  f(x)+ \lambda \int_a^b K(x,t)\,\varphi(t)\,dt.

Číslo \lambda je neznámy parameter, ktorý zohráva rovnakú úlohu ako vlastné číslo v lineárnej algebre. Význam ostatných symbolov je rovnaký, ako pri rovniciach prvého druhu.

Volterrove rovnice prvého druhu[upraviť | upraviť zdroj]

Volterrove rovnice prvého druhu sú zovšeobecnením Fredholmových rovníc prvého druhu, v ktorom je jedna z hraníc integračného rozsahu funkciou premennej x. Volterrove rovnice prvého druhu majú tvar:

 f(x) = \int_a^x K(x,t)\,\varphi(t)\,dt.

Volterrove rovnice druhého druhu[upraviť | upraviť zdroj]

Volterrove rovnice druhého druhu sú zovšeobecnením Fredholmových rovníc druhého druhu. Jedna z hraníc integračného rozsahu je funkciou premennej x. Rovnice tohto typu majú tvar:

 \varphi(x) = f(x) + \lambda \int_a^x K(x,t)\,\varphi(t)\,dt.

Pozri aj[upraviť | upraviť zdroj]

Zdroj[upraviť | upraviť zdroj]

Tento článok je čiastočný alebo úplný preklad článku Integral equation na anglickej Wikipédii.