Izolovaný ordinál

z Wikipédie, slobodnej encyklopédie
Prejsť na: navigácia, hľadanie

Izolovaný ordinál je ordinálne číslo, ktoré má predchodcu alebo je rovný prázdnej množine. Formálnejšie:
Ordinálne číslo  \alpha \,\! je izolované, ak
 \alpha = 0 \vee (\exist \beta \isin On)(\beta \cup \{ \beta \} = \alpha)
On tu označuje triedu všetkých ordinálnych čísel.

Príklady[upraviť | upraviť zdroj]

Každý konečný ordinál (tzn. každé prirodzené číslo) je izolovaný. Stačí si uvedomiť, že

  •  1 = 0 \cup \{ 0 \} = \{0 \} \,\!
  •  2 = 1 \cup \{ 1 \} = \{ 0,1 \} \,\!
  •  3 = 2 \cup \{ 2 \} = \{ 0,1,2 \} \,\!
  •  \ldots \,\!

Existujú ale i nekonečné izolované ordinály, napríklad ak označím ako  \omega \,\! množinu prirodzených čísel, ktorá je takisto ordinál, potom
 \omega + 1 = \{ 0,1,2,\ldots,\omega \} = \omega \cup \{ \omega \} \,\! má predchodcu  \omega \,\!
Podobne má  \omega + 2 \,\! predchodce  \omega + 1 \,\!, takže opäť ide o izolovaný ordinál.

Naproti tomu existujú i ordinály, ktoré nie sú izolované. Takým ordinálom hovoríme limitný. Najmenším takým ordinálom je práve  \omega \,\!, ale existujú i väčšie limitné ordinály – napríklad  \omega.2 \,\!,  \omega^2 \,\! alebo  (\omega^{\omega})^{\omega} \,\!.

Použitie[upraviť | upraviť zdroj]

Rozdelenie ordinálnych čísel na limitné a izolované sa často používa v dôkazoch transfinitnej indukcíe a v konštrukciách transfinitnej rekurzie, kde je prevedený zvláštny krok (z predchodcu na následníka) pre izolovaný ordinál a zvláštny krok (z množiny všetkých menších ordinálov na ich supremum) pre limitný ordinál.

Pozri aj[upraviť | upraviť zdroj]