Izolovaný ordinál

Izolovaný ordinál je ordinálne číslo, ktoré má predchodcu alebo je rovný prázdnej množine. Formálnejšie:
Ordinálne číslo $\alpha \,\!$ je izolované, ak
$\alpha = 0 \vee (\exist \beta \isin On)(\beta \cup \{ \beta \} = \alpha)$
On tu označuje triedu všetkých ordinálnych čísel.

Príklady

Každý konečný ordinál (tzn. každé prirodzené číslo) je izolovaný. Stačí si uvedomiť, že

• $1 = 0 \cup \{ 0 \} = \{0 \} \,\!$
• $2 = 1 \cup \{ 1 \} = \{ 0,1 \} \,\!$
• $3 = 2 \cup \{ 2 \} = \{ 0,1,2 \} \,\!$
• $\ldots \,\!$

Existujú ale i nekonečné izolované ordinály, napríklad ak označím ako $\omega \,\!$ množinu prirodzených čísel, ktorá je takisto ordinál, potom
$\omega + 1 = \{ 0,1,2,\ldots,\omega \} = \omega \cup \{ \omega \} \,\!$ má predchodcu $\omega \,\!$
Podobne má $\omega + 2 \,\!$ predchodce $\omega + 1 \,\!$, takže opäť ide o izolovaný ordinál.

Naproti tomu existujú i ordinály, ktoré nie sú izolované. Takým ordinálom hovoríme limitný. Najmenším takým ordinálom je práve $\omega \,\!$, ale existujú i väčšie limitné ordinály – napríklad $\omega.2 \,\!$, $\omega^2 \,\!$ alebo $(\omega^{\omega})^{\omega} \,\!$.

Použitie

Rozdelenie ordinálnych čísel na limitné a izolované sa často používa v dôkazoch transfinitnej indukcíe a v konštrukciách transfinitnej rekurzie, kde je prevedený zvláštny krok (z predchodcu na následníka) pre izolovaný ordinál a zvláštny krok (z množiny všetkých menších ordinálov na ich supremum) pre limitný ordinál.

Pozri aj

Matematický portál

• Limitný ordinál
• Ordinálne číslo
• Ordinálna aritmetika
• Transfinitná indukcia
• Transfinitná rekurzia