Konvexná funkcia

Graf funkcie konvexnej na intervale konvexnosti leží pod spojnicou krajných bodov tohto intervalu

Spojitá konvexná funkcia na intervale $(a,b)$, je význačná tým, že jej graf leží nad každou jej zostrojenou dotyčnicou. Jednoduchou a názornou pomôckou môže byť predstava grafu konvexnej funkcie na $(a,b)$ ako šálky, do ktorej možno naliať kávu. Opačný prípad tvorí konkávna funkcia. Samotná definícia je analyticky odvodená z vlastností funkčných hodnôt konvexnej funkcie vzhľadom k spojnici krajných bodov intervalu konvexnosti. Možno povedať, že funkčné hodnoty konvexnej funkcie sú na intervale konvexnosti vždy pod spojnicou spomínaných krajných bodov.

Definícia

Konkávna časť funkcie je vyznačená namodro. Graf na tomto intervale leží pod dotyčnicou. Zvyšná červená krivka označuje konvexnú časť a jej graf leží nad dotyčnicou

Definíciu konvexnosti funkcie možno rozdeliť na definíciu konvexnosti funkcie a špeciálneho prípadu - rýdzej konvexnosti funkcie. Väčšinu elementárnych funkcií možno však považovať za rýdzo konkávne respektíve rýdzo konvexné. Príkladom môžu byť polynómy.

Definícia rýdzo konvexnej funkcie

Nech f je funkcia spojitá na intervale $(a,b)$. Potom hovoríme, že funkcia f je na intervale $(a,b)$ rýdzo konvexná práve vtedy, keď existuje číslo $\lambda\in(0,1)$ s vlastnosťou

$\forall x,y\in(a,b),x<y:f(\lambda x+(1-\lambda)y)<\lambda f(x)+(1-\lambda)f(y)$

Definícia konvexnej funkcie

Nech f je funkcia spojitá na intervale $(a,b)$. Potom hovoríme, že funkcia f je na intervale $(a,b)$ konvexná práve vtedy, keď existuje číslo $\lambda\in(0,1)$ s vlastnosťou

$\forall x,y\in(a,b),x<y:f(\lambda x+(1-\lambda)y)\leq\lambda f(x)+(1-\lambda)f(y)$

Intervaly konvexnosti

Pri hľadaní intervalov, na ktorých je funkcia konvexná sa postupuje použitím druhej derivácie funkcie. Intervaly konvexnosti a konkávnosti funkcie delia inflexné body. V týchto bodoch funkcia mení zakrivenie. Funkcia je preto rýdzo konvexná na intervale, kde $f''(x)>0$. Analogicky sa odvodí pravidlo pre interval konvexnej funkcie $f''(x)\geq0$. Daná derivácia musí existovať. To, že funkcia je diferencovateľná nevyplýva priamo z podmienky spojitosti skúmanej funkcie, preto treba pridať podmienku diferencovateľnosti.

Pozri aj

• konkávna funkcia
• inflexný bod
• extrém