Kosínus

Graf funkcie kosínus

Kosínus je goniometrická funkcia. V pravouhlom trojuholníku je definovaná ako pomer priľahlej odvesny a prepony. Pre označenie tejto funkcie sa obvykle používa skratka cos a jej grafom je kosínusoida.

Vlastnosti

Funkcia $y=\cos x\,\!$ má nasledujúce vlastnosti (kde k je ľubovoľné celé číslo):

• Definičný obor: $\mathbb{R}$ (reálne čísla)
• Obor hodnôt: $\langle-1;1\rangle$
• Funkcia je rastúca: v každom intervale $\left(\pi+2k\pi, 2 \pi + 2k\pi\right)$
• Funkcia je klesajúca: v každom intervale $\left(2k\pi, \pi+2k\pi\right)$
• Funkcia nadobúda maximum rovné 1 v bode : $2k\pi$
• Funkcia nadobúda minimum rovné -1 v bode: $\pi+2k\pi$
• Derivácia: $y'=-\sin x\,\!$
• Integrál: $\int \cos x\, \mathrm{d}x = \sin x + c$
• Taylorov rad: $\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^nx^{2n}}{(2n)!}$, rovnosť platí pre všetky reálne čísla
• Inverzná funkcia: arkus kosinus (arccos), je to inverzná funkcia k funkcii kosínus zúženej na interval $[0,\pi]$
• Funkcia:
  • je párna
  • nie je nepárna
  • je ohraničená zhora aj zdola
  • je periodická s periódou $2\pi$
  • je spojitá aj so všetkými deriváciami v celom definičnom obore

Kosínus v komplexnom obore

Funkcia kosínus je v komplexných číslach definovaná súčtom radu

$\cos z = 1 - \frac{z^2}{2!} + \frac{z^4}{4!} - \frac{z^6}{6!} + \cdots = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^nz^{2n}}{(2n)!}$

ktorý konverguje na celej komplexnej rovine. Pre každé dve komplexné čísla z₁,z₂ platí:

$\cos z = \frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2},$

$\cos\left(z_1+z_2\right)=\cos z_1 \cos z_2 - \sin z_1 \sin z_2,$

$\cos iz = \cosh z,\,$

Tieto vzorce plynú priamo z príslušných definičných mocninových radov daných funkciou. Kosínus je na celej komplexnej rovine jednoznačná holomorfná funkcia.

Kosínus ako riešenie diferenciálnej rovnice

Niekedy je výhodné definovať funkciu kosínus ako riešenie Cauchyho úlohy

$y''(x)+y(x)=0,\ y(0)=1, y'(0)=0.$

Pozri aj

• Goniometria
• Sínus
• Tangens
• Kotangens
• Cyklometrická funkcia
• Kosínusová veta

Iné projekty

Commons

• Commons ponúka multimediálne súbory na tému Kosínus