Kovariančná matica

z Wikipédie, slobodnej encyklopédie
Prejsť na: navigácia, hľadanie

Kovariančná matica (iné názvy: variančná matica, variančno-kovariančná matica) je v teórii pravdepodobnosti a matematickej štatistike matica, ktorá má na priesečníku i-teho riadku a j-teho stĺpca kovarianciu medzi i-tym a j-tym prvkom náhodného vektora.

Definícia[upraviť | upraviť zdroj]

Majme p-rozmerný náhodný vektor {\mathbf X} = (X_1, X_2, \cdots, X_p)^T. Nech pre jednotlivé disperzie skalárnych náhodných premenných X_k, kde k = 1, \cdots, p, platí, že sú konečné, teda: D(X_k) < \infty. Potom symetrická matica rozmeru p \times p, ktorá má na priesečníku i-teho riadku a j-teho stĺpca kovarianciu prvkov X_i a X_j, teda číslo cov(X_i, X_j), pre i, j = 1, 2, \cdots, p, sa nazýva kovariančnou maticou náhodného vektora {\mathbf X}.

Predchádzajú definíciu zapíšeme aj symbolicky. Kovarianciu dvoch prvkov daného náhodného vektora {\mathbf X} označíme symbolom \Sigma_{ij}, teda:

\Sigma_{ij} = \operatorname{cov}\left(X_{i}, X_{j}\right) = \operatorname{E}[(X_{i} - E[X_{i}])(X_{j} - E[X_{j}])]

Pričom samozrejme zo základných vlastností kovariancie vieme, že platí:

\operatorname{cov}(X_i, X_i) = \operatorname{var}(X_i)

Matica bude potom vyzerať nasledovne:


  \begin{align}
      {\mathbf \Sigma}
 &= \begin{bmatrix}
       \Sigma_{11} & \Sigma_{12} & \cdots & \Sigma_{1p} \\ \\
       \Sigma_{21} & \Sigma_{22} & \cdots & \Sigma_{2p} \\ \\
       \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \\
       \Sigma_{p1} & \Sigma_{p2} & \cdots & \Sigma_{pp}
   \end{bmatrix} \\
&= \begin{bmatrix}
       \operatorname{E}[(X_{1} - E[X_{1}])(X_{1} - E[X_{1}])] & \operatorname{E}[(X_{1} - E[X_{1}])(X_{2} - E[X_{2}])] & \cdots & \operatorname{E}[(X_{1} - E[X_{1}])(X_{p} - E[X_{p}])] \\ \\
       \operatorname{E}[(X_{2} - E[X_{2}])(X_{1} - E[X_{1}])] & \operatorname{E}[(X_{2} - E[X_{2}])(X_{2} - E[X_{2}])] & \cdots & \operatorname{E}[(X_{2} - E[X_{2}])(X_{p} - E[X_{p}])] \\ \\
       \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \\
       \operatorname{E}[(X_{p} - E[X_{p}])(X_{1} - E[X_{1}])] & \operatorname{E}[(X_{p} - E[X_{p}])(X_{2} - E[X_{2}])] & \cdots & \operatorname{E}[(X_{p} - E[X_{p}])(X_{p} - E[X_{p}])]
      \end{bmatrix} \\
  \end{align}

Vďaka vyššie spomenutej vlastnosti kovariancie môžeme maticu prepísať aj do tvaru:


\begin{align}
      {\mathbf \Sigma}
&= \begin{bmatrix}
       \operatorname{var}\left(X_{1}\right) & \operatorname{cov}\left(X_{1}, X_{2}\right) & \cdots & \operatorname{cov}\left(X_{1}, X_{p}\right) \\ \\
       \operatorname{cov}\left(X_{2}, X_{1}\right) & \operatorname{var}\left(X_{2}\right) & \cdots & \operatorname{cov}\left(X_{2}, X_{p}\right) \\ \\
       \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \\
       \operatorname{cov}\left(X_{p}, X_{1}\right) & \operatorname{cov}\left(X_{p}, X_{2}\right) & \cdots & \operatorname{var}\left(X_{p}\right)
   \end{bmatrix} \\
  \end{align}

Označenie[upraviť | upraviť zdroj]

Ako vyplýva už z vyššie uvedeného, v prevažnej väčšine literatúry sa používa na označenie kovariančnej matice veľké grécke písmeno sigma {\mathbf \Sigma} (príp. {\mathbf \Sigma}({\mathbf X})) alebo \mathcal{D}({\mathbf X}).

Vlastnosti[upraviť | upraviť zdroj]

Kovariančná matica má niekoľko dôležitých vlastností. V definícii môžeme pre zjednodušenie označiť:

{\mathbf \Sigma}=\mathrm{E} \left[ \left( \textbf{X} - \mathrm{E}[\textbf{X}] \right) \left( \textbf{X} - \mathrm{E}[\textbf{X}] \right)^{\rm T} \right]

a

 \mu = \mathrm{E}(\textbf{X})
  • Kovariančnú maticu možno vyjadriť v nasledovnom tvare:
 \Sigma = \mathrm{E}(\mathbf{X X^{\rm T}}) - \mathbf{\mu}\mathbf{\mu^{\rm T}}
  • Majme maticu {\mathbf A}, ktorá má rozmery k \times p a k-rozmerný náhodný vektor {\mathbf B}. Potom pre kovariančnú maticu náhodného vektora {\mathbf Y} definovaného nasledovným vzťahom:
{\mathbf Y} = {\mathbf A}{\mathbf X} + {\mathbf B}

platí, že:

{\mathbf \Sigma}({\mathbf Y}) = {\mathbf A} {\mathbf \Sigma}({\mathbf X}) {\mathbf A}^{T}

Zdroj[upraviť | upraviť zdroj]

  • LAMOŠ, František; POTOCKÝ, Rastislav. Pravdepodobnosť a matematická štatistika – Štatistické analýzy. Bratislava : Vydavateľstvo UK, 1998. ISBN 80-223-1262-2. Kapitola Náhodné premenné a náhodné vektory., s. 344.
  • ŠTULAJTER, František. Odhady v náhodných procesoch. Bratislava : ALFA – vydavateľstvo technickej a ekonomickej literatúry, 1989. ISBN 80-05-00052-9. Kapitola Základy pravdepodobnosti, s. 288.
  • FILOVÁ, Lenka. Náhodné vektory [online]. [Cit. 2012-09-05]. Dostupné online.
  • JANKOVÁ, Katarína; PÁZMAN, Andrej. Pravdepodobnosť a štatistika. Bratislava : Vydavateľstvo UK, 2011. ISBN 978-80-223-2931-6. Kapitola Stredná hodnota a momenty. Úvod do teórie Lebesgueovho integrálu., s. 150.
  • Tento článok je čiastočný alebo úplný preklad článku Covariance matrix na anglickej Wikipédii.