Kovariančná matica

Kovariančná matica (iné názvy: variančná matica, variančno-kovariančná matica) je v teórii pravdepodobnosti a matematickej štatistike matica, ktorá má na priesečníku i-teho riadku a j-teho stĺpca kovarianciu medzi i-tym a j-tym prvkom náhodného vektora.

Definícia

Majme p-rozmerný náhodný vektor ${\mathbf X} = (X_1, X_2, \cdots, X_p)^T$. Nech pre jednotlivé disperzie skalárnych náhodných premenných $X_k$, kde $k = 1, \cdots, p$, platí, že sú konečné, teda: $D(X_k) < \infty$. Potom symetrická matica rozmeru $p \times p$, ktorá má na priesečníku i-teho riadku a j-teho stĺpca kovarianciu prvkov $X_i$ a $X_j$, teda číslo $cov(X_i, X_j)$, pre $i, j = 1, 2, \cdots, p$, sa nazýva kovariančnou maticou náhodného vektora ${\mathbf X}$.

Predchádzajú definíciu zapíšeme aj symbolicky. Kovarianciu dvoch prvkov daného náhodného vektora ${\mathbf X}$ označíme symbolom $\Sigma_{ij}$, teda:

$\Sigma_{ij} = \operatorname{cov}\left(X_{i}, X_{j}\right) = \operatorname{E}[(X_{i} - E[X_{i}])(X_{j} - E[X_{j}])]$

Pričom samozrejme zo základných vlastností kovariancie vieme, že platí:

$\operatorname{cov}(X_i, X_i) = \operatorname{var}(X_i)$

Matica bude potom vyzerať nasledovne:

$\begin{align} {\mathbf \Sigma} &= \begin{bmatrix} \Sigma_{11} & \Sigma_{12} & \cdots & \Sigma_{1p} \\ \\ \Sigma_{21} & \Sigma_{22} & \cdots & \Sigma_{2p} \\ \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \\ \Sigma_{p1} & \Sigma_{p2} & \cdots & \Sigma_{pp} \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} \operatorname{E}[(X_{1} - E[X_{1}])(X_{1} - E[X_{1}])] & \operatorname{E}[(X_{1} - E[X_{1}])(X_{2} - E[X_{2}])] & \cdots & \operatorname{E}[(X_{1} - E[X_{1}])(X_{p} - E[X_{p}])] \\ \\ \operatorname{E}[(X_{2} - E[X_{2}])(X_{1} - E[X_{1}])] & \operatorname{E}[(X_{2} - E[X_{2}])(X_{2} - E[X_{2}])] & \cdots & \operatorname{E}[(X_{2} - E[X_{2}])(X_{p} - E[X_{p}])] \\ \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \\ \operatorname{E}[(X_{p} - E[X_{p}])(X_{1} - E[X_{1}])] & \operatorname{E}[(X_{p} - E[X_{p}])(X_{2} - E[X_{2}])] & \cdots & \operatorname{E}[(X_{p} - E[X_{p}])(X_{p} - E[X_{p}])] \end{bmatrix} \\ \end{align}$

Vďaka vyššie spomenutej vlastnosti kovariancie môžeme maticu prepísať aj do tvaru:

$\begin{align} {\mathbf \Sigma} &= \begin{bmatrix} \operatorname{var}\left(X_{1}\right) & \operatorname{cov}\left(X_{1}, X_{2}\right) & \cdots & \operatorname{cov}\left(X_{1}, X_{p}\right) \\ \\ \operatorname{cov}\left(X_{2}, X_{1}\right) & \operatorname{var}\left(X_{2}\right) & \cdots & \operatorname{cov}\left(X_{2}, X_{p}\right) \\ \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \\ \operatorname{cov}\left(X_{p}, X_{1}\right) & \operatorname{cov}\left(X_{p}, X_{2}\right) & \cdots & \operatorname{var}\left(X_{p}\right) \end{bmatrix} \\ \end{align}$

Označenie

Ako vyplýva už z vyššie uvedeného, v prevažnej väčšine literatúry sa používa na označenie kovariančnej matice veľké grécke písmeno sigma ${\mathbf \Sigma}$ (príp. ${\mathbf \Sigma}({\mathbf X})$) alebo $\mathcal{D}({\mathbf X})$.

Vlastnosti

Kovariančná matica má niekoľko dôležitých vlastností. V definícii môžeme pre zjednodušenie označiť:

${\mathbf \Sigma}=\mathrm{E} \left[ \left( \textbf{X} - \mathrm{E}[\textbf{X}] \right) \left( \textbf{X} - \mathrm{E}[\textbf{X}] \right)^{\rm T} \right]$

a

$\mu = \mathrm{E}(\textbf{X})$

• Kovariančná matica je symetrická a kladne semidefinitná matica, ktorá má na diagonále disperzie náhodných premenných $X_1,\cdots, X_p$.

• Kovariančnú maticu možno vyjadriť v nasledovnom tvare:

$\Sigma = \mathrm{E}(\mathbf{X X^{\rm T}}) - \mathbf{\mu}\mathbf{\mu^{\rm T}}$

• Majme maticu ${\mathbf A}$, ktorá má rozmery $k \times p$ a k-rozmerný náhodný vektor ${\mathbf B}$. Potom pre kovariančnú maticu náhodného vektora ${\mathbf Y}$ definovaného nasledovným vzťahom:

${\mathbf Y} = {\mathbf A}{\mathbf X} + {\mathbf B}$

platí, že:

${\mathbf \Sigma}({\mathbf Y}) = {\mathbf A} {\mathbf \Sigma}({\mathbf X}) {\mathbf A}^{T}$

Zdroj

• LAMOŠ, František; POTOCKÝ, Rastislav. Pravdepodobnosť a matematická štatistika – Štatistické analýzy. Bratislava : Vydavateľstvo UK, 1998. ISBN 80-223-1262-2. Kapitola Náhodné premenné a náhodné vektory., s. 344. (slovenčina)
• ŠTULAJTER, František. Odhady v náhodných procesoch. Bratislava : ALFA – vydavateľstvo technickej a ekonomickej literatúry, 1989. ISBN 80-05-00052-9. Kapitola Základy pravdepodobnosti, s. 288. (slovenčina)
• FILOVÁ, Lenka. Náhodné vektory [online]. [Cit. 2012-09-05]. Dostupné online.
• JANKOVÁ, Katarína; PÁZMAN, Andrej. Pravdepodobnosť a štatistika. Bratislava : Vydavateľstvo UK, 2011. ISBN 978-80-223-2931-6. Kapitola Stredná hodnota a momenty. Úvod do teórie Lebesgueovho integrálu., s. 150. (slovenčina)

• Tento článok je čiastočný alebo úplný preklad článku Covariance matrix na anglickej Wikipédii.