L’Hospitalovo pravidlo

z Wikipédie, slobodnej encyklopédie
Prejsť na: navigácia, hľadanie

L’Hospitalove pravidlá alebo L'Hôpitalove pravidlá (vyslovuje sa lopitalove) slúžia na výpočet limít tzv. neurčitých výrazov typu \frac{0}{0} a \frac{\infty}{\infty}. Tieto pravidlá možno použiť tiež pri riešení neurčitých výrazov typu 0 \cdot \infty, 0^0, 1^\infty, \infty^0 alebo \infty - \infty, ktoré však vhodnými úpravami prevádzame na neurčité výrazy typu \frac{0}{0} alebo \frac{\infty}{\infty}.

Ako prvý tieto pravidlá zverejnil Guillaume de l’Hospital v roku 1692. Tieto pravidlá však pravdepodobne boli známe už Johannovi Bernoullimu.

Znenie vety[upraviť | upraviť zdroj]

Ak máme funkcie f(x), g(x), pre ktoré v bode c platí \lim_{x \to c} f(x)=0 a \lim_{x \to c} g(x)=0, potom v prípade, že existuje (vlastná alebo nevlastná) limita \lim_{x \to c} \frac{f^\prime(x)}{g^\prime(x)}, platí

\lim_{x \to c} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to c} \frac{f^\prime(x)}{g^\prime(x)}

kde { }^\prime označuje deriváciu funkcie.

Podobne v prípade, kedy máme funkcie f(x), g(x), pre ktoré v bode c platí \lim_{x \to c} f(x) = +-\infty a \lim_{x \to c} g(x) = +-\infty. Ak existuje (vlastná alebo nevlastná) limita \lim_{x \to c} \frac{f^\prime(x)}{g^\prime(x)}, potom opäť platí vzťah

\lim_{x \to c} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to c} \frac{f^\prime(x)}{g^\prime(x)}

Uvedené l'Hospitalove pravidlá sú použiteľné aj v nevlastných bodoch.

Ak je \frac{f^\prime(x)}{g^\prime(x)} v bode c opäť neurčitým výrazom, možno l’Hospitalove pravidlá použiť opakovane. Takto môžeme postupovať, dokiaľ nezískame nejaký výraz, ktorý nie je neurčitý.

Úprava výrazov pre použitie l’Hospitalovho pravidla[upraviť | upraviť zdroj]

l’Hospitalove pravidlá sú definované len pre neurčité výrazy typu \frac{0}{0} alebo \frac{\infty}{\infty}. Ostatné neurčité výrazy je nutno previesť na tento typ neurčitého výrazu.

Uvažujme ďalej funkcie f(x), g(x), ktoré v bode c naberajú hodnôt 0 alebo \infty.

  • Ak f(x)\cdot g(x) predstavuje v c výraz 0 \cdot \infty, potom ho môžeme upraviť na \frac{f(x)}{\frac{1}{g(x)}}, čo je výraz typu \frac{0}{0}, alebo na \frac{g(x)}{\frac{1}{f(x)}}, čo je výraz typu \frac{\infty}{\infty}.
  • Ak f(x) - g(x) predstavuje v c výraz typu \infty - \infty, potom ho možno upraviť na \frac{\frac{1}{g(x)} - \frac{1}{f(x)}}{\frac{1}{f(x)\cdot g(x)}}, čo je výraz typu \frac{0}{0}.
  • Ak {f(x)}^{g(x)} predstavuje v c výraz typu 0^0, potom ho upravíme na {f(x)}^{g(x)} = \mathrm{e}^{g(x)\cdot \ln f(x)}, kde v exponente je výraz 0 \cdot \infty, ktorý možno ďalej upraviť na výraz \frac{0}{0} alebo \frac{\infty}{\infty}. Pri riešení potom využijeme toho, že \lim_{x \to c} \mathrm{e}^{g(c) \cdot \ln f(x)} = \mathrm{e}^{\lim_{x \to c} [g(x) \cdot \ln f(c)]}.
  • Ak {f(x)}^{g(x)} predstavuje v c výraz typu \infty^0, potom ho upravíme na {f(x)}^{g(x)} = \mathrm{e}^{g(x)\cdot \ln f(x)}, kde v exponente je výraz 0 \cdot \infty, ktorý ďalej riešime rovnako ako v predchádzajúcom bode.
  • Ak {f(x)}^{g(x)} predstavuje v c výraz typu 1^\infty, potom ho upravíme na {f(x)}^{g(x)} = \mathrm{e}^{g(x)\cdot \ln f(x)}, kde v exponente je výraz \infty \cdot 0, ktorý ďalej riešime rovnaku ako v predchádzajúcom bode.

Príklady[upraviť | upraviť zdroj]

  • Výraz \frac{\ln x}{x^3} predstavuje pre x\to+\infty neurčitý výraz typu \frac{\infty}{\infty}. Pomocou l’Hôpitalovho pravidla teda bude
\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln x}{x^3} = \lim_{x \to +\infty} \frac{\frac{1}{x}}{3 x^2} = \lim_{x \to +\infty} \frac{\frac{-1}{x^2}}{6 x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{-1}{6 x^3} = 0
  • Neurčitý výraz typu (0 \cdot \infty) prevedieme úpravou súčinu f(x)g(x) na podiel \frac{f(x)}{\frac{-1}{g(x)}} alebo \frac{g(x)}{\frac{1}{f(x)}} získame tak neurčitý výraz typu \frac{0}{0} alebo \frac{\infty}{\infty}. Ten už určíme l’Hôspitalovým pravidlom.
\lim_{x \to 0_+} (x \cdot \ln x) = \lim_{x \to 0_+} \frac{\ln x}{\frac{1}{x}} =  \lim_{x \to 0_+} \frac{(\ln x)^'}{(x^{-1})'} = \lim_{x \to 0_+} \frac{\frac{1}{x}}{-x^{-2}} = - \lim_{x \to 0_+} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{x^2}} = - \lim_{x \to 0_+} x = 0

Pozri aj[upraviť | upraviť zdroj]

Zdroj[upraviť | upraviť zdroj]

Tento článok je čiastočný alebo úplný preklad článku L'Hospitalovo pravidlo na českej Wikipédii.