Lagrangeov polynóm

z Wikipédie, slobodnej encyklopédie
Prejsť na: navigácia, hľadanie

Lagrangeov polynóm, pomenovaný podľa Josepha Louisa Lagrangea, je v numerickej matematike interpolujúci polynóm pre danú množinu bodov v Lagrangeovom tvare. V roku 1779 ho objavil Edward Waring a v roku 1783 ho znovuobjavil Leonhard Euler.

Je povšimnutia hodné, že pre danú množinu bodov existuje len jeden polynóm (najmenšieho možného stupňa), ktorý interpoluje dané body. Preto je správnejšie o Lagrangeovom polynóme hovoriť ako o Lagrangeovom tvare interpolujúceho polynómu, než o Lagrangeovom interpolujúcom polynóme.

Na obrázku je kubický Lagrangeov interpolujúci polynóm L(x) (zobrazený čiernou farbou) pre body (−9, 5), (−4, 2), (−1, −2) a (7, 9). Tento polynóm je súčtom konštantných faktorov bázických polynómov y00(x), y11(x), y22(x) a y33(x). Interpolujúci polynóm prechádza cez všetky štyri body, každý z bázických polynómov prechádza jedným z daných bodov a na x-ových súradniciach daných ostatnými bodmi má hodnotu 0.

Definícia[upraviť | upraviť zdroj]

Nech je daná množina k + 1 bodov

(x_0, y_0),\ldots,(x_j, y_j),\ldots,(x_k, y_k)

kde žiadne dve hodnoty x_j nie sú rovnaké. Potom interpolujúci polynóm v Lagrangeovom tvare pre túto množinu bodov je lineárna kombinácia

L(x) := \sum_{j=0}^{k} y_j \ell_j(x)

Lagrangeových bázických polynómov

\ell_j(x) := \prod_{f=0,\, f\neq j}^{k} \frac{x-x_f}{x_j-x_f} = \frac{(x-x_0)}{(x_j-x_0)} \cdots \frac{(x-x_{j-1})}{(x_j-x_{j-1})} \frac{(x-x_{j+1})}{(x_j-x_{j+1})} \cdots \frac{(x-x_{k})}{(x_j-x_{k})}.

Je povšimnutia hodné, že za predpokladu, že žiadne dve hodnoty x_i nie sú rovnaké (a to ani nemôžu byť, keďže by daná úloha nedávala zmysel), platí x_j - x_f \neq 0, čiže daný výraz je vždy dobre definovaný.

Dôkaz[upraviť | upraviť zdroj]

Aby funkcia L(x) naozaj bola hľadaným interpolujúcim polynómom, musí platiť, že je to polynóm najviac k teho stupňa, pričom pre každé 0 \leq j \leq k musí platiť L(x_j) = y_j.

Ak toto tvrdenie platí pre všetky j, hovoríme, že daný polynóm je riešením interpolačného problému.

Dokážeme teda dané tvrdenie:

  1. Vo výraze \ell_j(x) je k členov súčinu, pričom každý člen obsahuje práve x práve raz, teda L(x) (ktorý je tým pádom súčtom polynómov k-teho stupňa) musí byť tiež polynóm k-teho stupňa.
  2. \ell_j(x_i)= \prod_{f=0,\, f\neq j}^{k} \frac{x_i-x_f}{x_j-x_f}

Skúmajme teraz, čo sa stane, ak rozvinime tento súčin. Keďže súčin vynecháva hodnotu f = j, ak i = j, tak všetky členy sú rovné \frac{x_j-x_f}{x_j-x_f} = 1 (lebo stále platí x_j \neq x_f). Ak i \neq j, jeden z členov súčinu, konkrétne ten, pre ktorý platí f=i, bude mať hodnotu \frac{x_i-x_i}{x_j-x_i} = 0, a teda vynuluje celý súčin. Čiže platí

\ell_j(x_i)
 = \left\{\begin{matrix} 
1, & \mbox{ak } j=i   \\ 
0, & \mbox{ak } j \ne i   \end{matrix}\right.
= \delta_{ji}

kde \delta_{ij} is the Kroneckerov symbol. Teda:

L(x_i) = \sum_{j=0}^{k} y_j \ell_j(x_i) = \sum_{j=0}^{k} y_j \delta_{ji} = y_i.

To ale znamená, že L(x) je polynóm stupňa najviac k, pričom platí L(x_i) = y_i. Navyše, takýto interpolujúci polynóm je určený jednoznačne.

Zdroj[upraviť | upraviť zdroj]

Tento článok je čiastočný alebo úplný preklad článku Lagrange polynomial na anglickej Wikipédii.

Externé odkazy[upraviť | upraviť zdroj]