Lebesgueova veta

Lebesgueho veta prípadne Lebesgueova veta o zámene limity a integrálu je matematická veta umožňujúca zámenu pojmov  :$\lim$ a $\int$.

Znenie vety

Nech funkcie :$\ f_{n}(x)$ a :$\ f(x)$ sú merateľné v :$\ M$ a  :$\ f_{n}(x)\rightarrow f(x)$ pre skoro všetky $x\in \mathbf {M}$. Nech existuje

$\ g(x)\in \mathbf {L} (M)$ tak, že  :$\ |f_{n}(x)|\leq g(x)$ skoro všade v $M$.Potom platí :$\int _{M}\lim _{n\rightarrow \infty }f_{n}(x)=\lim _{n\rightarrow \infty }\int _{M}f_{(}x)$ , čo možno zapísať aj ako :$\int _{M}\lim _{n\rightarrow \infty }f_{n}(x)=\lim _{n\rightarrow \infty }\int _{M}f_{n}(x)$ , z čo plynie :$\lim _{n\rightarrow \infty }f_{n}(x)=f(x)$.

Poznámka

• Existuje aj verzia tejto vety pre rady funkcií

Referencie

• http://mathworld.wolfram.com/LebesguesDominatedConvergenceTheorem.html