Logaritmus

Graf prirodzeného logaritmu y=log_e x, inak zapísané y = ln x

Logaritmus alebo logaritmická funkcia (pri základe a) je inverznou funkciou k exponenciálnej funkcii (s tým istým základom).

Logaritmom čísla x pri základe a teda nazývame v matematike také číslo y, pre ktoré platí:

$x = a^y \,$

a označujeme ho symbolicky

$y = \log _a x \,$,

kde a > 0, a ≠ 1, x > 0. Funkciu

$y = \log _a x\,$

kde x > 0, potom nazývame logaritmickou funkciou so základom a. Definičný obor funkcie je interval $\left(0; \infty\right)$, obor hodnôt tvoria všetky reálne čísla.

Funkcia je:

• klesajúca, ak $a \in \left(0,1\right)$
• rastúca, ak $a \in \left(1,\infty\right)$

Graf logaritmickej funkcie nazývame logaritmická krivka; prechádza bodmi $\left[ 1; 0 \right]$ a $\left[ a; 1\right]$.

Konštanta a sa nazýva základ logaritmu. Logaritmus o základe 10 sa nazýva dekadický logaritmus (prípadne desiatkový, alebo Briggsov podľa matematika Henryho Briggsa). V prípade dekadického logaritmu sa v zápise vynecháva základ a zapisuje sa ako

$y = \log x$

Ďalším (v matematike pravdepodobne najpoužívanejším) prípadom je logaritmus o základe e (Eulerovo číslo). Tento sa nazýva prirodzený logaritmus (niekedy tiež Napierov podľa matematika Johna Napiera) a používa sa skrátený zápis

$y = \ln x$

Hlavne v informatike sa objavuje logaritmus o základe 2, nazývaný binárny logaritmus, ktorý sa skrátene zapisuje:

$y = \lg x$

Vlastnosti

Pre $a, x, y > 0, a \neq 1, r \in \mathbb{R}$ platí:

• $\log _a a^x = a^{\log _a x} = x,$

• $\log _a x + \log _a y = \log _a xy, \,$

• $\log _a x - \log _a y = \log _a \frac{x}{y}$

• $\log _a x^r = r \log _a x \,$

• $\log _a x = \frac{\log _b x}{\log _b a}$, kde $b > 0, b \neq 1$