Ludolfovo číslo

z Wikipédie, slobodnej encyklopédie
Prejsť na: navigácia, hľadanie
Na zápis Ludolfovho čísla sa používa minuskulum (malé písmeno) pí gréckej abecedy. Často sa týmto znakom aj pomenuváva.

Ludolfovo číslo, hovorovo \pi\,\! alebo výnimočne aj Archimedova konštanta (znak je grécke písmeno malé pí) je pomer obvodu kruhu k jeho priemeru. Či je kruh malý, alebo veľký , \pi\,\! je stále rovnaké, je to matematická konštanta. Táto konštanta sa bežne používa v matematike, fyzike a inžinierstve. Ludolfovo číslo je iracionálne a transcendentné číslo.

Dejiny čísla \pi\,\![upraviť | upraviť zdroj]

Archimedes bol jeden z prvých matematikov, ktorý sa zaujímal o číslo \pi\,\!

Podiel obvodu kruhu k jeho priemeru bol už od staroveku objektom záujmu vedcov. Babylončania okolo roku 2000 pred Kr. zistili, že obvod kruhu je približne trojnásobkom jeho priemeru. Matematický postup výpočtu čísla \pi\,\! sa objavil okolo roku 255 pred Kr. Archimedom zo Syrakrúz. Archimedes pomocou výpočtu obvodu pravidelného vpísaného a opísaného 96 uholníka odhadol hodnotu čísla \pi\,\! medzi zlomkami \frac{223}{71} a \frac{220}{70}. V nemecky hovoriacich krajinách bolo toto číslo nazývané Ludolfovo (Ludolphsche Zahl) podľa nemecko-holandského matematika Ludolph van Ceulen, ktorý ho v roku 1596 určil pomocou Archimedovho postupu na 20 miest a neskôr na 35 miest [1]. Výpočtom sa zaoberal aj Samuel Mikovíny, ktorý pred rokom 1750 určil jeho hodnotu na 25 cifier. Návrh na označenie tohto čísla znakom \pi\,\! pochádza od málo známeho Williama Jonesa, waleského matematika, ktorý sa v 18. storočí stal viceprezidentom Londýnskej kráľovskej spoločnosti. Populizátorom označenia \pi\,\! pre podiel obvodu kruhu a jeho priemeru bol matematik a fyzik Leonhard Euler. Potom, čo Johann Lambert v roku 1768 dokázal, že \pi\,\! nie je zlomok (iracionálne číslo), vyriešil Ferdinand von Lindemann najvýznamnejší problém spojený s \pi\,\!. Dokázal, že \pi\,\! je transcendentné číslo. V Nemecku prijali označenie \pi\,\! až v 20. storočí. \pi\,\! sa nazýva Ludolfovo číslo teraz najmä na Slovensku a v Česku.

Vyčíslenie hodnoty \pi\,\![upraviť | upraviť zdroj]

William Shanks v roku 1853 oznámil, že vypočítal \pi\,\! s presnosťou na 607 miest (napokon sa ukázalo, že správnych bolo len 527). V súčasnosti sa snaha o upresnenie desatinného rozvoja čísla \pi\,\! urýchlila vďaka výpočtovej technike. V roku 1949 určili hodnotu \pi\,\! s presnosťou na 2 037 desatinných miest, čo pomocou počítača ENIAC trvalo 70 hodín. V roku 2011 bolo známych viac ako 10 000 000 000 000 miest čísla \pi\,\![2].

Hodnota čísla \pi\,\![upraviť | upraviť zdroj]

Nikdy nebudeme poznať presnú hodnotu čísla \pi\,\!, keďže je to iracionálne číslo. Desatinný rozvoj \pi\,\! je nekonečný a bez predikovateľnej štruktúry. Jeho hodnota na 60 desatinných miest je:

3,141592653589 793238462643 383279502884 197169399375 105820974944...

Výpočet \pi\,\![upraviť | upraviť zdroj]

Jeden zo spôsobov ako \pi\,\! vypočítať:

\pi = 4\sum^\infty_{k=0} \frac{(-1)^k}{2k+1} = \frac{4}{1}-\frac{4}{3}+\frac{4}{5}-\frac{4}{7}+\frac{4}{9}-\frac{4}{11}\cdots

Na technické účely sa často používa zaokrúhlená hodnota 3,14, prípadne zlomok 22/7.

Pomerne jednoducho sa zapamätá 113/355 (po 2 krát za sebou nepárne čísla 1 3 5 rozdelené v strede lomkou), čo je odlišné od 1/\pi\,\! s relatívnou chybou menšou ako desatina milióntiny – odkiaľ priblíženie 355/113, ktoré má rovnako malú relatívnu odchýlku od \pi\,\!.

Ak priemer kruhu je 1, potom jeho obvod je pí.

Kruh a guľa[upraviť | upraviť zdroj]

Kruh[upraviť | upraviť zdroj]

 obvod=\mathbf{\pi\,\!}\mathbf{d} = 2\mathbf{\pi\,\!}\mathbf{r}

 obsah=\mathbf{\pi\,\!}\mathbf{r^2}

Guľa[upraviť | upraviť zdroj]

 povrch=\mathbf{\pi\,\!}\mathbf{d^2} = 4\mathbf{\pi\,\!}\mathbf{r^2}

 objem=\frac{4}{3}\mathbf{\pi\,\!}\mathbf{r^3}

Zdroj[upraviť | upraviť zdroj]

  • Crilly, T.: Matematika 50 myšlienok, ktoré by ste mali poznať, Bratislava: Slovart, 2011

Referencie[upraviť | upraviť zdroj]

Externé odkazy[upraviť | upraviť zdroj]