Matica (matematika)

Matica je určitá množina čísel alebo iných matematických objektov (tzv. prvkov matice) usporiadaných do pravidelných riadkov a stĺpcov (prípadne aj ich viacrozmerných ekvivalentov) a vyznačujúcich sa tým, že každý výpočtový úkon vykonávaný s maticou sa týka každého prvku tvoriaceho maticu.

Najčastejšie sa možno stretnúť s dvojrozmernou maticou. Ak treba zdôrazniť, že má m riadkov a n stĺpcov, hovorí sa o matici typu m krát n. Ak treba zdôrazniť, že objekty v tejto tabuľke pochádzajú z množiny A hovorí sa o matici nad množinou A. Príkladom matice typu 2 krát 5 nad množinou celých čísel môže byť

$\begin{pmatrix} 3 & 0 & -6 & 4 & 11\\ 6 & -1 & 4 & 1 & 13\\ \end{pmatrix}.$

Prvky matice A zvyčajne označujeme ako a_ij, pričom i je číslo riadku a j stĺpca.

Matice sú obzvlášť dôležité v lineárnej algebre kde reprezentujú lineárne zobrazenia a slúžia k efektívnemu zápisu lineárnych rovníc. Pomocou matíc nad množinou {0,1} sa reprezentujú konečné binárne relácie.

Operácie s maticami

Ak prvky dvoch matíc pochádzajú z vhodnej algebraickej štruktúry a ak sú splnené obmedzujúce podmienky týkajúce sa typu matíc, možno s maticami vykonávať rôzne operácie. Pre operáciu s maticami však neplatia všetky pravidlá platné pri počítaní s číslami, preto sa treba riadiť definíciami, ktoré maticové operácie určujú. Napríklad nie je jedno, v akom poradí sa násobia matice.

Sčítavanie matíc

Sčítavanie matíc môže prebiehať len vtedy, ak tieto dve matice majú rovnaký rozmer. Sčítavajú sa čísla na rovnakých pozíciách. Napríklad:

$\begin{bmatrix} 1 & 3 & 2 \\ 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 2 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 & 0 & 5 \\ 7 & 5 & 0 \\ 2 & 1 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1+0 & 3+0 & 2+5 \\ 1+7 & 0+5 & 0+0 \\ 1+2 & 2+1 & 2+1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 3 & 7 \\ 8 & 5 & 0 \\ 3 & 3 & 3 \end{bmatrix}$

Skalárne násobenie

Každý prvok v matici A sa vynásobí číslom c. Napríklad:

$2 \begin{bmatrix} 1 & 8 & -3 \\ 4 & -2 & 5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2\times 1 & 2\times 8 & 2\times -3 \\ 2\times 4 & 2\times -2 & 2\times 5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 16 & -6 \\ 8 & -4 & 10 \end{bmatrix}$

Sčítanie a skalárne násobenie nemenia rozmer matíc.

Násobenie matíc

Násobenie môže pracovať len vtedy, ak je počet stĺpcov ľavej matice rovnaký ako počet riadkov pravej matice. Ak A je m-krát-n matica a B je n-krát-r matica, tak ich maticový produkt AB má rozmery m-krát-r (m počet riadkov (ako v prvej matici) -krát- r počet stĺpcov (ako v druhej matici)). Výsledná hodnota na pozícií [i,j] je:

$\,\! (AB)[i,j] = A[i,1] B[1,j] + A[i,2] B[2,j] + ... + A[i,n] B[m,j]$

pre každé i a j.

Napríklad:

$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 \\ -1 & 3 & 1 \\ \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 1 \\ 1 & 0 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} ( 1 \times 3 + 0 \times 2 + 2 \times 1) & ( 1 \times 1 + 0 \times 1 + 2 \times 0) \\ (-1 \times 3 + 3 \times 2 + 1 \times 1) & (-1 \times 1 + 3 \times 1 + 1 \times 0) \\ \end{bmatrix}$

$= \begin{bmatrix} 5 & 1 \\ 4 & 2 \\ \end{bmatrix}$

Pričom nie je jedno, v akom poradí sa to vykonáva, napríklad:

$\begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 1 \\ 1 & 0 \\ \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 \\ -1 & 3 & 1 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} ( 3 \times 1 + 1 \times -1 ) & ( 3 \times 0 + 1 \times 3 ) & ( 3 \times 2 + 1 \times 1 ) \\ ( 2 \times 1 + 1 \times -1 ) & ( 2 \times 0 + 1 \times 3 ) & ( 2 \times 2 + 1 \times 1 ) \\ ( 1 \times 1 + 0 \times -1 ) & ( 1 \times 0 + 0 \times 3 ) & ( 1 \times 2 + 0 \times 1 ) \\ \end{bmatrix}$

$= \begin{bmatrix} 2 & 3 & 7\\ 1 & 3 & 5\\ 1 & 0 & 2\\ \end{bmatrix}$

Dokonca ani rozmer matíc nemusí byť rovnaký pri vymenenom poradí.

Riadková ekvivalencia a stupňovitý tvar

Matice A a B sú riadkovo ekvivalentné vtedy (označujeme $A \approx B$), ak jedna vznikla z druhej konečným počtom nasledujúcich operácií nazývaných elementárne riadkové operácie:

1. vzájomná výmena dvoch riadkov matice
2. vynásobenie niektorého riadka nenulovým prvkom z A (predpokladáme, že A je okruh, alebo pole)
3. prirátanie ľubovoľného násobku niektorého riadku matice k inému

$\approx$ je reláciou ekvivalencie. Analogicky môžeme definovať aj stĺpcovú ekvivalenciu a elementárnu stĺpcovú operáciu.

Vedúcim prvkom riadku sa nazýva prvý nenulový prvok daného riadku.

Matica A je v stupňovitom tvare ak platí:

• ak a_ij a a_st sú vedúce prvky A a i < s, tak potom nutne j < t
• nad nenulovým riadkom v A nie je žiaden nulový.

Ak navyše platí, že:

• vedúci prvok každého riadku je 1
• ak stĺpec obsahuje vedúci prvok niektorého riadku, všetky jeho ostatné prvky sú nulové

tak sa A nazýva redukovaná stupňovitá matica.

Každá matica je riadkovo ekvivalentná s práve jednou redukovanou stupňovitou maticou.

Hodnosť matice

Hodnosť matice je počet lineárne nezávislých riadkov matice. Hodnosť matice sa rovná maximálnemu počtu lineárne nezávislých riadkov matice. To je ekvivalentné s počtom nenulových riadkov matice v stupňovitom tvare (špeciálne redukovanom stupňovitom tvare).

Externé odkazy

• FILIT – zdroj, z ktorého pôvodne čerpal tento článok.
• Operace s maticemi v R (determinant, stopa, inverzní, adjungovaná, transponovaná)