Multinomická veta

z Wikipédie, slobodnej encyklopédie
Prejsť na: navigácia, hľadanie

Pre každé prirodzené číslo m a každé nezáporné celé číslo n multinomická veta hovorí, ako vyzerá súčet m čísiel umocnený na n-tú:

(x_1 + x_2  + \cdots + x_m)^n 
 = \sum_{k_1+k_2+\cdots+k_m=n} {n \choose k_1, k_2, \ldots, k_m}
  x_1^{k_1} x_2^{k_2} \cdots x_m^{k_m}\,.
kde
 {n \choose k_1, k_2, \ldots, k_m}
 = \frac{n!}{k_1!\, k_2! \cdots k_m!}

sa nazýva multinomický koeficient a jeho hodnota sa dá chápať ako počet rôzných zoradení m druhov predmetov, k_i je počet predmetov i-teho druhu a k_1 + \cdots + k_m = n.

Príklad[upraviť | upraviť zdroj]

(a+b+c)^3 = a^3 + b^3 + c^3 + 3 a^2 b + 3 a^2 c + 3 b^2 a + 3 b^2 c + 3 c^2 a + 3 c^2 b + 6 a b c.

koeficienty pri mocninách možno dostať po dosadení do multinomickej vety:

a^2 b^0 c^1 má koeficient {3 \choose 2, 0, 1} = \frac{3!}{2!\cdot 0!\cdot 1!} = \frac{6}{2 \cdot 1 \cdot 1} = 3
a^1 b^1 c^1 má koeficient {3 \choose 1, 1, 1} = \frac{3!}{1!\cdot 1!\cdot 1!} = \frac{6}{1 \cdot 1 \cdot 1} = 6.

Pozri aj[upraviť | upraviť zdroj]

Zdroj[upraviť | upraviť zdroj]

Tento článok je čiastočný alebo úplný preklad článku Multinomická věta na českej Wikipédii.