Multinomická veta

Pre každé prirodzené číslo m a každé nezáporné celé číslo n multinomická veta hovorí, ako vyzerá súčet m čísiel umocnený na n-tú:

$(x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{m})^{n}=\sum _{k_{1}+k_{2}+\cdots +k_{m}=n}{n \choose k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m}}x_{1}^{k_{1}}x_{2}^{k_{2}}\cdots x_{m}^{k_{m}}\,.$

kde

${n \choose k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m}}={\frac {n!}{k_{1}!\,k_{2}!\cdots k_{m}!}}$

sa nazýva multinomický koeficient a jeho hodnota sa dá chápať ako počet rôznych zoradení m druhov predmetov, $k_{i}$ je počet predmetov i-teho druhu a $k_{1}+\cdots +k_{m}=n$.

Príklad

$(a+b+c)^{3}=a^{3}+b^{3}+c^{3}+3a^{2}b+3a^{2}c+3b^{2}a+3b^{2}c+3c^{2}a+3c^{2}b+6abc.$

koeficienty pri mocninách možno dostať po dosadení do multinomickej vety:

$a^{2}b^{0}c^{1}$ má koeficient ${3 \choose 2,0,1}={\frac {3!}{2!\cdot 0!\cdot 1!}}={\frac {6}{2\cdot 1\cdot 1}}=3$

$a^{1}b^{1}c^{1}$ má koeficient ${3 \choose 1,1,1}={\frac {3!}{1!\cdot 1!\cdot 1!}}={\frac {6}{1\cdot 1\cdot 1}}=6$.

Pozri aj

• Binomická veta
• Pascalov trojuholník
• Polynóm

Zdroj

Tento článok je čiastočný alebo úplný preklad článku Multinomická věta na českej Wikipédii.

Matematický portál

Externé odkazy

• Základy kombinatoriky