Normovaný lineárny priestor

z Wikipédie, slobodnej encyklopédie
Prejsť na: navigácia, hľadanie

Normovaný lineárny priestor alebo normovaný vektorový priestor je v matematike lineárny priestor, v ktorom je každému vektoru x priradené reálne číslo - norma - vyjadrujúce dĺžku vektora x, t. j. na danom lineárnom priestore je definované zobrazenie x \to \|x\|. Pre normu vektora x, označovanú \|x\|, musia platiť nasledujúce 3 vlastnosti:

  1. (\forall x: \|x\| \geq 0) \land (\|x\| = 0 \iff x = \vec{0}),
  2. \|\alpha x\| = |\alpha|\|x\|,
  3. \|x + y\| \leq \|x\| + \|y\|.

Často je výhodné definovať normu pomocou skalárneho súčinu. V prípade, že je na lineárnom priestore definovaná norma zhodná s normou definovanou pomocou skalárneho súčinu, nazýva sa daný lineárny priestor unitárny. Pokiaľ je metrický priestor zodpovedajúci danému normovanému lineárnemu priestoru úplný, nazýva sa daný normovaný lineárny priestor Banachov priestor. Pokiaľ je úplný metrický priestor zodpovedajúci danému unitárnemu priestoru, nazýva sa daný unitárny priestor Hilbertov priestor.