Normálne rozdelenie

Normálne rozdelenie (iné názvy: Gaussovo rozdelenie, normálne rozdelenie pravdepodobnosti, Gaussovo rozdelenie pravdepodobnosti) je jedno z najdôležitejších rozdelení pravdepodobnosti spojitej náhodnej veličiny.

Týmto rozdelením pravdepodobnosti sa síce neriadi veľké množstvo veličín, ale jeho význam spočíva v tom, že za určitých podmienok dobre aproximuje rad iných pravdepodobnostných rozdelení (spojitých aj diskrétnych).

V súvislosti s normálnym rozdelením sa často spomínajú náhodné chyby, napr. chyby merania, spôsobené veľkým počtom neznámych a vzájomne nezávislých príčin. Preto sa normálne rozdelenie označuje aj ako zákon chýb. Podľa tohoto zákona sa riadi aj rozdelenie niektorých fyzikálnych a technických veličín.

Rozdelenie pravdepodobnosti

Hustota normálneho rozdelenia pravdepodobnosti

Normálne rozdelenie pravdepodobnosti s parametrami $\mu$ a $\sigma ^{2}$, pre $-\infty <\mu <\infty$ a $\sigma ^{2}>0$, je pre $-\infty <x<\infty$ definované hustotou pravdepodobnosti v tvare

$f(x)={\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\mathrm {e} ^{-{\frac {{(x-\mu )}^{2}}{2\sigma ^{2}}}}$.

Normálne rozdelenie sa väčšinou značí $\operatorname {N} (\mu ,\sigma ^{2})$. Rozdelenie $\operatorname {N} (0,1)$ býva označované ako normované (alebo štandardizované) normálne rozdelenie. Normované normálne rozdelenie má teda hustotu pravdepodobnosti

$f(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\mathrm {e} ^{-{\frac {x^{2}}{2}}}$

Charakteristiky rozdelenia

Stredná hodnota normálneho rozdelenia je

$\operatorname {E} (X)=\mu$

Normálne rozdelenie má rozptyl

$\operatorname {D} (X)=\sigma ^{2}$

Pre medián dostaneme

$x_{0,5}=\mu$

Koeficienty šikmosti a špicatosti normálneho rozdelenia sú:

$\gamma _{1}=0$

$\gamma _{2}=1$

Momentovou vytvárajúcou funkciou normálneho rozdelenia možno zapísať v tvare

$m(z)=\mathrm {e} ^{z\mu +{\frac {z^{2}\sigma ^{2}}{2}}}$

Pre prirodzené čísla $k$ možno momenty písať ako

$\mu _{2k-1}=0$

$\mu _{2k}={\frac {(2k)!}{k!2^{k}}}\sigma ^{2k}$

Distribučná funkcia

Distribučná funkcia normálneho rozdelenia je

$F(x)=\int _{-\infty }^{x}{\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\mathrm {e} ^{-{\frac {{(t-\mu )}^{2}}{2\sigma ^{2}}}}\;\mathrm {d} t$

Distribučnú funkciu normálneho rozdelenia nemožno vyjádriť elementárnymi funkciami.

Viacrozmerné rozdelenie

Keď máme $s$-rozmerný náhodný vektor $X$, ktorého združená hustota pravdepodobnosti má tvar

$f(x_{1},x_{2},...,x_{s})={\frac {1}{\sqrt {{(2\pi )}^{s}{\left|\mathbf {C} \right|}}}}\mathrm {e} ^{-{\frac {1}{2}}{\left(\mathbf {x} -\mathbf {\mu } \right)}^{T}\mathbf {C} ^{-1}{\left(\mathbf {x} -\mathbf {\mu } \right)}}$

pre $-\infty <x_{i}<\infty$, $i=1,2,...,s$, kde $\mathbf {C}$ je symetrická, pozitivne definitná matica a $\mathbf {x} ={(x_{1},x_{2},...,x_{s})}^{T}$ a $\mathbf {\mu } ={(\mu _{1},\mu _{2},...,\mu _{s})}^{T}$ sú stĺpcové vektory. V takom prípadě hovoríme o $s$-rozmernom normálnom rozdelení, ktoré predstavuje zovšeobecnenie normálneho rozdelenia pre viacrozmernú náhodnú veličinu.

Charakteristiky viacrozmerného rozdelenia

Momentovú vytvárajúcu funkciu možno vyjadriť ako

$m(z_{1},z_{2},...,z_{s})=\mathrm {e} ^{\left(\mathbf {z} ^{T}\mathbf {\mu } +{\frac {\mathbf {z} ^{T}\mathbf {C} \mathbf {z} }{2}}\right)}$

Z predchádzajúceho vzťahu možno odvodiť, že $\mathbf {\mu }$ predstavuje vektor stredných hodnôt a $\mathbf {C}$ kovariančnú maticu.

Marginálne rozdelenie

Marginálnym rozdelením veličiny $X_{i}$ je jednorozmerné normálne rozdelenie $\operatorname {N} (\mu _{i},\sigma _{i}^{2})$, marginálnym rozdelením veličín $X_{i},X_{j}$ pre $i\neq j$ je dvojrozmerné normálne rozdelenie, atď.

Pozri aj

• Rozdelenie pravdepodobnosti

Zdroje

• Tento článok je čiastočný alebo úplný preklad článku Normální rozdělení na českej Wikipédii (číslo revízie nebolo určené).