Obyčajná lineárna diferenciálna rovnica

z Wikipédie, slobodnej encyklopédie
Prejsť na: navigácia, hľadanie

Obyčajná lineárna diferenciálna rovnica  n-tého rádu je rovnica tvaru

 y^{(n)}(x)+a_1(x)y^{(n-1)}(x)+\dots +a_{n-1}(x)y'(x)+a_n(x)y(x)=f(x) , \!

kde funkcie  a_i,\ i=1,2,\dots ,n;\ f sú zadané. Špeciálnym prípadom takej rovnice je lineárna diferenciálna rovnica prvého rádu (ODR). Ľavá strana tejto diferenciálnej rovnice sa zvykne značiť takto

 (L_ny)(x),

a priradenie  y \mapsto L_ny voláme lineárny diferenciálny operátor n-tého rádu. V prípade, že  f=0 hovoríme o homogénnej lineárnej diferenciálnej rovnici.

Homogénna lineárna diferenciálna rovnica s konštantnými koeficientami[upraviť | upraviť zdroj]

Ide o rovnicu

 y^{(n)}(x)+a_1y^{(n-1)}(x)+\dots +a_{n-1}y'(x)+a_ny(x)=0 , \!

ktorej koeficienty sú konštanty. Už Euler si všimol, že exponenciálna funkcia  x\mapsto e^{rx} s vhodným  r je riešením tejto rovnice. Dosadením do rovnice dostaneme podmienku na číslo  r , ktorú voláme charakteristická rovnica

 r^n+a_1r^{n-1}+a_2r^{n-2}+\dots + a_{n-1}r+a_n=0 , \!

čo je algebraická rovnica stupňa  n , ktorá má podľa základnej vety algebry práve  n koreňov ak počítame aj ich násobnosť. Rozoznávame dva prípady:

  • ak sú korene  r charakteristickej rovnice jednoduché, tak týmto postupom získame  n lineárne nezávislých riešení
  • ak je niektorý koreň  \hat{r} charakteristickej rovnice  k-násobný, tak potom funkcie  x\mapsto x^me^{\hat{r}x},\ m=0,1,2,\dots ,k-1 (je to  k lineárne nezávislých funkcií) sú riešením diferenciálnej rovnice.

V každom prípade takto získame práve  n lineárne nezávislých riešení homogénnej lineárnej diferenciálnej rovnice  n-tého rádu s konštantnými koeficientami.

Ak sú koeficienty  a_i,\ i=1,2,\dots ,n reálne čísla, tak spolu s koreňom  \hat{r} má charakteristická rovnica aj koreň komplexne združený  \hat{r}^\star. V tomto prípade z koreňov  \hat{r},\ \hat{r}^\star máme 2 reálne funkcie

 x\mapsto e^{ax}\cos (bx),\ x\mapsto e^{ax}\sin(bx) ,\!

kde   \hat{r}=a+ib,\ a,b\in\mathbb{R} . V prípade, že uvedený koreň je viacnásobný, tak sa pridávajú násobky trigonometrických funkcií mocninou nezávisle premennej.