Obyčajná lineárna diferenciálna rovnica

Obyčajná lineárna diferenciálna rovnica $n$-tého rádu je rovnica tvaru

$y^{(n)}(x)+a_1(x)y^{(n-1)}(x)+\dots +a_{n-1}(x)y'(x)+a_n(x)y(x)=f(x) , \!$

kde funkcie $a_i,\ i=1,2,\dots ,n;\ f$ sú zadané. Špeciálnym prípadom takej rovnice je lineárna diferenciálna rovnica prvého rádu (ODR). Ľavá strana tejto diferenciálnej rovnice sa zvykne značiť takto

$(L_ny)(x),$

a priradenie $y \mapsto L_ny$ voláme lineárny diferenciálny operátor n-tého rádu. V prípade, že $f=0$ hovoríme o homogénnej lineárnej diferenciálnej rovnici.

Homogénna lineárna diferenciálna rovnica s konštantnými koeficientami

Ide o rovnicu

$y^{(n)}(x)+a_1y^{(n-1)}(x)+\dots +a_{n-1}y'(x)+a_ny(x)=0 , \!$

ktorej koeficienty sú konštanty. Už Euler si všimol, že exponenciálna funkcia $x\mapsto e^{rx}$ s vhodným $r$ je riešením tejto rovnice. Dosadením do rovnice dostaneme podmienku na číslo $r$, ktorú voláme charakteristická rovnica

$r^n+a_1r^{n-1}+a_2r^{n-2}+\dots + a_{n-1}r+a_n=0 , \!$

čo je algebraická rovnica stupňa $n$, ktorá má podľa základnej vety algebry práve $n$ koreňov ak počítame aj ich násobnosť. Rozoznávame dva prípady:

• ak sú korene $r$ charakteristickej rovnice jednoduché, tak týmto postupom získame $n$ lineárne nezávislých riešení
• ak je niektorý koreň $\hat{r}$ charakteristickej rovnice $k$-násobný, tak potom funkcie $x\mapsto x^me^{\hat{r}x},\ m=0,1,2,\dots ,k-1$ (je to $k$ lineárne nezávislých funkcií) sú riešením diferenciálnej rovnice.

V každom prípade takto získame práve $n$ lineárne nezávislých riešení homogénnej lineárnej diferenciálnej rovnice $n$-tého rádu s konštantnými koeficientami.

Ak sú koeficienty $a_i,\ i=1,2,\dots ,n$ reálne čísla, tak spolu s koreňom $\hat{r}$ má charakteristická rovnica aj koreň komplexne združený $\hat{r}^\star$. V tomto prípade z koreňov $\hat{r},\ \hat{r}^\star$ máme 2 reálne funkcie

$x\mapsto e^{ax}\cos (bx),\ x\mapsto e^{ax}\sin(bx) ,\!$

kde $\hat{r}=a+ib,\ a,b\in\mathbb{R} .$ V prípade, že uvedený koreň je viacnásobný, tak sa pridávajú násobky trigonometrických funkcií mocninou nezávisle premennej.