Operátor nabla

z Wikipédie, slobodnej encyklopédie
Prejsť na: navigácia, hľadanie

Operátor nabla (iné názvy: nabla, operátor del, del, Hamiltonov operátor, Hamiltonov operátor nabla, hamiltonián) je diferenciálny operátor vo vektorovej analýze. Označuje sa symbolom nabla \nabla alebo \vec{\nabla} (v anglosaských krajinách \underline \nabla), aby sa vyjadrila jeho podobnosť s vektorom. Meno nabla je odvodené od názvu hebrejského strunového nástroja, ktorý mal zhruba tento tvar.

Nabla sa používa na skrátený zápis matematických operátorov ako gradient, divergencia, rotácia a iných.

V n-rozmernom priestore Rn vytvára ∇ všetky parciálne derivácie funkcie Rn podľa R, čo je presne gradient funkcie f.

Ako n-vektor má nabla tvar: {\nabla} \equiv
\left(\frac{\partial}{\partial x_1}, \ldots,
\frac{\partial}{\partial x_n}\right)

Svojim diferenciálnym charakterom pôsobí operátor napravo (teda na symboly stojace napravo od neho), pričom sa prejavuje jeho vektorový charakter.

V tenzorovej analýze sa operátor nabla ukázal byť dôležitým príkladom kovariantného tenzoru.

Operátor sa označuje aj ako Hamiltonov operátor (pozor na zámenu s pojmom hamiltonián), pretože ho ako prvý používal sir William Rowan Hamilton.

Zápis významných vzorcov pomocou operátoru nabla[upraviť | upraviť zdroj]

Nasledujúce pravidlá platia pre (vo fyzike najobvyklejší) trojdimenzionálny euklidovský priestor R3 s pravouhlými súradnicami x, y a z.


\operatorname{grad\ }\Phi =  \nabla \Phi =
\left( \frac{\partial\Phi}{\partial x}, \frac{\partial\Phi}{\partial y}, \frac{\partial\Phi}{\partial z}\right) =
\frac{\partial\Phi}{\partial x} \mathbf{e}_x + \frac{\partial\Phi}{\partial y} \mathbf{e}_y + \frac{\partial\Phi}{\partial z} \mathbf{e}_z,
kde \mathbf{e}_x,\ \mathbf{e}_y,\ \mathbf{e}_z sú jednotkové vektory priestoru R3.
  • Skalárnym súčinom nably s vektorovým poľom \begin{matrix} \mathbf{V}(x, y, z) \end{matrix} dostávame divergenciu tohto poľa:

\operatorname{div\ }\mathbf{V} =
{\nabla} \cdot \mathbf{V} =
\frac{\partial V_x}{\partial x} + \frac{\partial V_y}{\partial y} + \frac{\partial V_z}{\partial z}.
  • Rotáciu vektorového poľa \begin{matrix} \mathbf{V}(x, y, z) \end{matrix} potom získame vektorovým súčinom \nabla s týmto poľom.

\operatorname{rot\ }\mathbf{V} =
{\nabla} \times \mathbf{V} =
\begin{pmatrix}
\frac{\partial V_z}{\partial y} - \frac{\partial V_y}{\partial z} \\
\frac{\partial V_x}{\partial z} - \frac{\partial V_z}{\partial x} \\
\frac{\partial V_y}{\partial x} - \frac{\partial V_x}{\partial y} \\
\end{pmatrix}.

Ďalej potom pre ľubovolné skalárne pole φ, ψ a f a vektorové polia A a B platia nasledujúce operácie:

\nabla(\psi\varphi)=\psi\nabla\varphi+\varphi\nabla\psi
\nabla(\mathbf{A}\cdot\mathbf{B})=(\mathbf{A}\cdot\nabla)\mathbf{B}+(\mathbf{B}\cdot\nabla)\mathbf{A}+\mathbf{A}\times(\nabla\times\mathbf{B})+\mathbf{B}\times(\nabla\times\mathbf{A})
\nabla f(r)=\frac{df}{dr}\frac{ \mathbf{r}}{r}
\nabla\cdot(\varphi\mathbf{A})=\varphi\nabla\cdot\mathbf{A}+\mathbf{A}\cdot\nabla\varphi
\nabla\cdot(\mathbf{A}\times\mathbf{B})=\mathbf{B}\cdot(\nabla\times\mathbf{A})-\mathbf{A}\cdot(\nabla\times\mathbf{B})
\nabla\cdot\nabla\varphi\equiv\Delta\varphi (pozri aj Laplaceov operátor)
\nabla\cdot(\nabla\times\mathbf{A})=\mathbf{0}
\nabla\times\varphi\mathbf{A}=\varphi\nabla\times \mathbf{A}-\mathbf{A}\times\nabla\varphi
\nabla\times (\mathbf{A}\times\mathbf{B})=(\mathbf{B}\nabla)\mathbf{A}-\mathbf{B}(\nabla\mathbf{A})+\mathbf{A}(\nabla\mathbf{B})-(\mathbf{A}\nabla)\mathbf{B}
\nabla\times\nabla\varphi=\mathbf{0}
\nabla\times (\nabla\times \mathbf{A})=\nabla(\nabla \cdot \mathbf{A})-\Delta\mathbf{A}