Relácia kongruencie (algebra)

Relácia kongruencie alebo kongruencia je ekvivalencia na algebre, ktorá je zlučiteľná so všetkými operáciami na tejto algebre (teda napríklad, ak sú tri páry prvkov ekvivalentné a výsledky nejakej operácie na týchto pároch sú tiež ekvivalentné, potom existuje pre tieto páry zhodnosť).

Definícia

Predpokladajme, že $(X, O_1, O_2, \ldots, O_n) \,\!$ je algebraická štruktúra s množinou prvkov $X \,\!$ a operáciami $O_1, O_2, \ldots, O_n \,\!$, operácia $O_i \,\!$ je $m_i \,\!$ - árna. Predpokladajme ďalej, že $R \,\!$ je relácia ekvivalencie na množine $X \,\!$. $R \,\!$ je kongruencia na $X \,\!$, ak pre každú z vymenovaných operácií platí:
$a_1 \sim_R b_1, a_2 \sim_R b_2, \ldots, a_{m_i} \sim_R b_{m_i} \implies O_i(a_1,a_2,\ldots,a_{m_i}) \sim_R O_i(b_1,b_2,\ldots,b_{m_i}) \,\!$

Táto oficiálna definícia hovorí v podstate to isté, čo úvodné priblíženie - ak sú operandy na rovnakom mieste po dvoch ekvivalentné, potom musia aj výsledky operácie byť ekvivalentné.

Príklad - zhodnosť zvyškových tried

Kongruencia čísel je úzko spätá s ich deliteľnosťou a so zvyškovými triedami. Jednoducho povedané, dve čísla sú kongruentné, ak ich rozdiel je deliteľný modulom, teda po delení modulom dávajú rovnaký zvyšok. Spomínaná ekvivalencia je v tom, že obe čísla dávajú rovnaký zvyšok po delení modulom, t. j. patria do tej istej zvyškovej triedy.

Hovoríme, že dve čísla $a,b\in\mathbb{Z}$ sú kongruentné, ak ich rozdiel je deliteľný číslom $m$, ktoré nazývame modulo. Formálne

$a\equiv b\pmod{m}$

Predchádzajúci zápis sa môže ekvivalentne prepísať na tvar

$a-b=k\cdot m$
$a=k\cdot m+b$

Príklad

Z predchádzajúceho vidno, že číslo $a$ dáva po delení modulom zvyšok $b$. Pomocou axióm modulárnej aritmetiky je možné ľahko dokázať deliteľnosť veľkých čísel určitým modulom. Je zrejmé, že číslo 4 dáva po delení číslom (modulom) 3 zvyšok 1. Ale aj čísla 7,10,13,16 ... dávajú ten istý zvyšok a teda platí

$4\equiv 4+3k\pmod{3}$

Odtiaľ vyplýva, že podľa relácie kongruencie sú čísla 4, 7, 10,... ekvivalentné, lebo dávajú rovnaký zvyšok po delení modulom 3.

Vlastnosti kongruencií

Relácia kongruencie je reláciou ekvivalencie a teda je reflexívna, symetrická a tranzitívna.
1. reflexívnosť

$a\equiv a\pmod{m}$

Dôkaz spočíva v použití definície kongruencie. Teda má platiť $m|(a-a)$, čo je zrejme pravda, pretože $m|0$.$\blacksquare$
2. symetria

$a\equiv b\pmod{m}\;\Rightarrow\; b\equiv a\pmod{m}$

Aj táto vlastnosť je jednoducho dokázateľná priamo z definície. Čiže $m|(a-b)\Rightarrow m|(b-a)$, čo sa dá prepísať $(a-b=k\cdot m)\Rightarrow(b-a=k\cdot m)$, po úprave $(a=k\cdot m+b)\Rightarrow(a=-k\cdot m+b)$.$\blacksquare$
3. tranzitívnosť

$(a\equiv b\pmod{m}\wedge b\equiv c\pmod{m})\Rightarrow(a\equiv c\pmod{m})$

Dôkaz:
$\begin{array}{l}a-b=k_1\cdot m\\b-c=k_2\cdot m\end{array}$
Súčtom oboch rovností vznikne nová rovnica
$\begin{array}{rcl}a-c&=&k_1\cdot m+k_2\cdot m\\ a-c&=&(k_1+k_2)\cdot m\\ a&\equiv& c\pmod{m}\blacksquare\end{array}$

Príklad

Názorný príklad ukazuje, že číslo $29^{21}+1$ je deliteľné desiatimi. Ak si zápis prepíšeme do formy kongruencie, potom
$\begin{array}{rcl}29^{21}+1&\equiv&0\pmod{10}\\29^{21}&\equiv&-1\\ 29\cdot29\cdots29&\equiv&-1\\9\cdot9\cdots9&\equiv&-1\\9^{21}&\equiv&-1\\9^{20}\cdot9&\equiv&-1\\81^{10}\cdot9&\equiv&-1\\9&\equiv&-1\end{array}$