Čiastočne usporiadaná množina

Hasseho diagram deliteľov čísla 60 usporiadaných reláciou deliteľnosti.

Čiastočne usporiadaná množina, úspornejšie usporiadaná množina alebo poset, je množina spolu s informáciou, na základe ktorej je možné navzájom porovnávať jej prvky. Presne je usporiadaná množina definovaná ako dvojica

$(P,\leq )$

kde $P$ je množina a $\leq$ je na nej definovaná binárna relácia ktorá je reflexívna, antisymetrická a tranzitívna. Relácia, ktorá súčasne spĺňa tieto tri vlastnosti sa nazýva relácia usporiadania alebo jednoducho usporiadanie. Štúdiu usporiadaných množín sa venuje teória usporiadania.

Príklady

• Slová slovenského jazyka spolu s lexikografickým usporiadaním tvoria usporiadanú množinu. Podľa tohoto usporiadania sú zoradené napríklad v slovníku slovenského pravopisu.
• Množina reálnych čísel a všetky jej podmnožiny sú usporiadané reláciou "menší alebo rovný".
• Množina prirodzených čísel je usporiadaná reláciou deliteľnosti celých čísel. Toto usporiadanie má komplikovanú štruktúru. Existujú v ňom neporovnateľné prvky, napríklad číslo 3 nie je deliteľom čísla 4 a ani naopak, číslo 4 nie je deliteľom čísla 3.
• Na množine reálnych funkcií definovaných na pevne zvolenej množine $A$ sa často definuje relácia usporiadania podmienkou, že $f\leq g$ vtedy a len vtedy ak $f(a)\leq g(a)$ pre každé $a$ z množiny $A$. Aj v tomto usporiadaní existujú neporovnateľné prvky.

Pozri aj

• Lineárne usporiadaná množina (Reťazec)
• Protireťazec
• Husto usporiadaná množina

Referencie

• B.A. Davey, H.A. Priestley, Introduction to Lattices and Order. Cambridge University Press 2002. ISBN 0521784514

Externé odkazy

• Čiastočne usporiadané množiny