Riccatiho rovnica

z Wikipédie, slobodnej encyklopédie
Prejsť na: navigácia, hľadanie

Riccatiho rovnica je nelineárna Obyčajná diferenciálna rovnica prvého rádu

 y'(x) = q_0(x) + q_1(x) \, y(x) + q_2(x) \, y^2(x)

kde funkcie  q_i,\ i=0,1,2 sú zadané a predpokladá sa, že  q_0(x),q_2(x)\not=0.

Transformácia na lineárnu rovnicu druhého rádu[upraviť | upraviť zdroj]

Riccatiho rovnicu možno upraviť na lineárnu rovnicu druhého rádu.

Ak q_2\not=0, tak nová funkcia v=yq_2 je riešením špeciálnej Riccatiho rovnici

v'=v^2 + R(x)v +S(x),\!

kde význam symbolov  S,R je nasledovný

S=q_2q_0,\quad R=q_1+\left(\frac{q_2'}{q_2}\right).

Ak teraz urobíme substitúciu v=-u'/u, tak zistíme, že funkcia  u spĺňa lineárnu rovnicu druhého rádu

u'' -Ru' +Su=0.\!

Riešenie  y pôvodnej Riccatiho rovnice potom súvisí s riešením  u lineárnej rovnice vzťahom

y=-u'/(q_2u). \!

Štruktúra riešení Riccatiho rovnice[upraviť | upraviť zdroj]

Vzťah medzi Riccatiho rovnicou a lineárnou rovnicou druhého rádu umožňuje detailne preskúmať množinu riešení Riccatiho rovnice. Menovite, ak poznáme nejaké riešenie Riccatiho rovnice, označme ho  Y , tak potom všeobecné riešenie je tvaru

 Y + u . \!

Dosadením tohoto vzťahu do Riccatiho rovnice dostávame podmienku na funkciu  u

 u' - (q_1 + 2 \, q_2 \, Y) \, u = q_2 \, u^2,

čo je Bernoulliho diferenciálna rovnica, ktorú riešime úpravou na lineárnu diferenciálnu rovnicu prvého rádu pomocou substitúcie

 z =\frac{1}{u}

s výslednou rovnicou

 z' + (q_1 + 2 \, q_2 \, Y) \, z = -q_2

Čiže zhrnieme, ak  Y je nejaké riešenie pôvodnej Riccatiho rovnice, tak všeobecné riešenie Riccatiho rovnice má tvar

 y = Y + \frac{1}{z},

kde  z je všeobecné riešenie uvedenej lineárnej diferenciálnej rovnice prvého rádu.