Riccatiho rovnica

Riccatiho rovnica je nelineárna Obyčajná diferenciálna rovnica prvého rádu

$y'(x) = q_0(x) + q_1(x) \, y(x) + q_2(x) \, y^2(x)$

kde funkcie $q_i,\ i=0,1,2$ sú zadané a predpokladá sa, že $q_0(x),q_2(x)\not=0$.

Transformácia na lineárnu rovnicu druhého rádu

Riccatiho rovnicu možno upraviť na lineárnu rovnicu druhého rádu.

Ak $q_2\not=0$, tak nová funkcia $v=yq_2$ je riešením špeciálnej Riccatiho rovnici

$v'=v^2 + R(x)v +S(x),\!$

kde význam symbolov $S,R$ je nasledovný

$S=q_2q_0,\quad R=q_1+\left(\frac{q_2'}{q_2}\right)$.

Ak teraz urobíme substitúciu $v=-u'/u$, tak zistíme, že funkcia $u$ spĺňa lineárnu rovnicu druhého rádu

$u'' -Ru' +Su=0.\!$

Riešenie $y$ pôvodnej Riccatiho rovnice potom súvisí s riešením $u$ lineárnej rovnice vzťahom

$y=-u'/(q_2u). \!$

Štruktúra riešení Riccatiho rovnice

Vzťah medzi Riccatiho rovnicou a lineárnou rovnicou druhého rádu umožňuje detailne preskúmať množinu riešení Riccatiho rovnice. Menovite, ak poznáme nejaké riešenie Riccatiho rovnice, označme ho $Y$, tak potom všeobecné riešenie je tvaru

$Y + u . \!$

Dosadením tohoto vzťahu do Riccatiho rovnice dostávame podmienku na funkciu $u$

$u' - (q_1 + 2 \, q_2 \, Y) \, u = q_2 \, u^2,$

čo je Bernoulliho diferenciálna rovnica, ktorú riešime úpravou na lineárnu diferenciálnu rovnicu prvého rádu pomocou substitúcie

$z =\frac{1}{u}$

s výslednou rovnicou

$z' + (q_1 + 2 \, q_2 \, Y) \, z = -q_2$

Čiže zhrnieme, ak $Y$ je nejaké riešenie pôvodnej Riccatiho rovnice, tak všeobecné riešenie Riccatiho rovnice má tvar

$y = Y + \frac{1}{z},$

kde $z$ je všeobecné riešenie uvedenej lineárnej diferenciálnej rovnice prvého rádu.