Rozptyl (štatistika)

Rozptyl (iné názvy: variancia, disperzia, stredná kvadratická odchýlka, stredná kvadratická fluktuácia) je najčastejšie používaná miera variability.

Hodnota rozptylu je závislá od odchýlky štatistiky od priemeru. Ak chápeme štatistický súbor ako realizáciu náhodného výberu z určitého rozdelenia, potom rozptyl určuje strednú kvadratickú odchýlku jednotlivých nameraných hodnôt od výberového priemeru.

Definícia

Nech $X$ je náhodná premenná, ktorá nadobúda konečne alebo spočítateľne veľa hodnôt. Potom definujeme rozptyl ako

$\mathrm{Var}[X]=\sum_{k=1}^{\infty}(x_k-\mathrm{E}[X])^2\cdot\mathrm{Pr}[X=x_k]$.

Ďalším často používaným vzťahom na výpočet rozptylu je

$\mathrm{Var}[X]=\operatorname{E}[X^2] - \operatorname{E}[X]^2$,

ku ktorému môžme prísť odvodením zo základného vzťahu. Ak je každý výsledok rovnako pravdepodobný a je ich konečne veľa, uvedený vzťah možno prepísať do tvaru

$\mathrm{Var}[X]=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}(x_k-\mathrm{E}[X])^2$.

Ak uvažujeme náhodnú premennú $X$, ktorá nenadobúda konečne veľa, resp. spočítateľne veľa hodnôt, teda je spojitá, používame na výpočet variancie vzťah

$\mathrm{Var}[X]=\int\limits_{-\infty}^{+\infty}(x-\mathrm{E}[X])^2f(x)\,\mathrm{d}x$,

kde $f$ je funkcia hustoty pravdepodobnosti príslušného rozdelenia.

Vlastnosti rozptylu

• Rozptyl má aditívnu vlastnosť len v prípade, že náhodné premenné v jeho argumente sú nezávislé. Inak

$\mathrm{Var}[X+Y]=\mathrm{Var}[X]+\mathrm{Var}[Y]+2\mathrm{Cov}[X,Y]\,$

• Pri transformácii náhodnej premennej $\alpha X$, kde $\alpha$ je konštanta platí

$\mathrm{Var}[\alpha X]=\alpha^2\mathrm{Var}[X]\,$

• Rozptyl môžeme prepísať z definičného tvaru do nasledovného, z ktorého je jasné, že ide o strednú hodnotu istej transformácie pôvodnej náhodnej premennej

$\mathrm{Var}[X]=\mathrm{E}\left[(X-\mathrm{E}[X])^2\right]\,$

Použitie a príklady

Hodnota rozptylu je vždy kladná, čo vyplýva z toho, že pracujeme s druhou mocninou odchýlky. Druhú odmocninu z rozptylu nazývame smerodajná odchýlka a označujeme

$\sigma_X=\sqrt{\mathrm{Var}[X]}$

Pomocou štandardnej odchýlky a korelačného koeficientu možno vyjadriť kovarianciu nasledovným spôsobom

$\mathrm{Cov}[X,Y]=\rho_{XY}\sigma_X\sigma_Y\,$

Rozptyl vystupuje aj v dôležitej Čebyševovej nerovnosti, ktorá sa využíva pri dôkaze slabého zákona veľkých čísel.

Príklad

Rozptyl rovnomerného rozdelenia na intervale [-1,+1] je

$\mathrm{Var}[X]=\int\limits_{-1}^{+1}(x-0)^2\frac{1}{2}\,\mathrm{d}x=\left[\frac{x^3}{6}\right]_{-1}^{+1}=\frac{1}{3}$