Sínus

z Wikipédie, slobodnej encyklopédie

Pre iné významy slova sínus pozri sínus (rozlišovacia stránka).

Sínus patrí medzi goniometrické funkcie. V pravouhlom trojuholníku je definovaný ako pomer dĺžky protiľahlej odvesny k uhlu a dĺžky prepony trojuholníka. Graf funkcie sínus sa nazýva sínusoida alebo sínusovka.

[upraviť] Pôvod slova

Latinské slovo „Sinus“ znamená „ohyb, zakrivenie, alebo prsia“. v tomto význame to bolo prevzaté od arabských matematikov, ktorí si slovo „jiba“ (جيب) „vrecko, záhyb látky“ požičali od indických matematikov (Sanskrit „jiva“ ‘tetiva‘ - odvodené od zakriveného priebehu vlákna, ktoré je navinuté na palici vo forme závitu.).

[upraviť] Vlastnosti

Funkcia $y=\sin x\,\!$ má nasledujúce vlastnosti (kde k je ľubovoľné celé číslo):

Definičný obor: $\mathbb{R}$ (reálne čísla)
Obor hodnôt: $\langle-1;1\rangle$
Funkcia je rastúca: v každom intervale $\langle-\frac{\pi}{2}+2k\pi; \frac{\pi}{2}+2k\pi\rangle$
Funkcia je klesajúca: v každom intervale $\langle\frac{\pi}{2}+2k\pi; -\frac{\pi}{2}+2(k+1)\pi\rangle$
Funkcia má maximum: $\frac{\pi}{2}+2k\pi$
Funkcia má minimum: $-\frac{\pi}{2}+2k\pi$
Derivácia funkcie: $y'=\cos x\,\!$
Integrál: $\int \sin x\, \mathrm{d}x = -\cos x + c$
Taylorov polynóm: $\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \ldots = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^nx^{2n+1}}{(2n+1)!}$
Inverzná funkcia: arkus sínus (arcsin)
Sínus je funkcia:
- nepárna
- ohraničená zhora i zdola
- periodická s periódou $2 k π$

[upraviť] Sínus v komplexnom obore

Funkcia sínus je v komplexných číslach definovaná súčtom radu

$\sin z = z - \frac{z^3}{3!} + \frac{z^5}{5!} - \frac{z^7}{7!} + \ldots = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^nz^{2n+1}}{(2n+1)!},$

ktorý konverguje na celej komplexnej rovine. Pre každé dve komplexné čísla z₁,z₂ platí:

$\sin z = \frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i},$

$\sin\left(z_1+z_2\right)=\sin z_1 \cos z_2 + \cos z_1 \sin z_2,$

$\sin iz = i \sinh z,\,$

Tieto vzorce vyplývajú priamo z príslušných definičných mocninových radov daných funkciou. Sínus je na celej komplexnej rovine jednoznačná holomorfná funkcia.