Sústava lineárnych rovníc

z Wikipédie, slobodnej encyklopédie
Prejsť na: navigácia, hľadanie
Lineárny systém s troma premennými definovanými ako roviny. Riešenie systému je prienik rovín (bod).

V matematike a v lineárnej algebre sa ako Sústava lineárnych rovníc označuje množina lineárnych rovníc. Napríklad


3x_1 + 2x_2 + x_3 = 1 \,\!


2x_1 + 2x_2 + 4x_3 = -2 \,\!


-x_1 + 3x_2 - x_3 = 0 \,\!

Úlohou pri riešení je nájsť také hodnoty x1, x2 a x3 pre ktoré platia všetky rovnice zároveň.

Použitie[upraviť | upraviť zdroj]

Riešenie sústav lineárnych rovníc patrí v matematike k najstarším problémom a má veľa aplikácii, napríklad pri odhadovaní, v predpovediach a v lineárnom programovaní.

Zápis[upraviť | upraviť zdroj]

Všeobecne môže byť sústava m lineárnych rovníc s n neznámymi zapísaná ako

a11x1 + a12x2 + + a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + + a2nxn = b2
    :
    :
am1x1 + am2x2 + + amnxn = bm,

kde premenné x1, … ,xnpremenné a aij sú koeficienty sústavy rovníc. Čísla b_i, kde i = 1, 2, ...,m, sú absolútne členy sústavy (alebo tiež tzv. pravá strana sústavy). Vo všeobecnosti môžu byť koeficienty aj absolútne členy komplexnými číslami.

Koeficenty môžme zapísať v tvare matice:

\mathbf{A} = 
\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix}

Túto maticu označujeme ako "maticu sústavy"

Premenné a pravú stranu sústavy je možné vyjadriť ako vektory

\vec{x} = \begin{pmatrix}
x_1 \\
x_2 \\
\vdots \\
x_n
\end{pmatrix}
\vec{b} = \begin{pmatrix}
b_1 \\
b_2 \\
\vdots \\
b_m
\end{pmatrix}

Celú sústavu rovníc je možné vyjadriť ako


\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix} 

\begin{pmatrix}
x_1 \\
x_2 \\
\vdots \\
x_n
\end{pmatrix} 
=
\begin{pmatrix}
b_1 \\
b_2 \\
\vdots \\
b_m
\end{pmatrix}

alebo skrátene v maticovom zápise:

\mathbf{A} \cdot \vec{x} = \vec{b}

prípadne pomocou notácie podľa sumy:

\sum_{j=1}^n a_{ij} x_j = b_i

pre i = 1,2, ..., m.


Metódy riešenia[upraviť | upraviť zdroj]

Súvisiace články[upraviť | upraviť zdroj]

Externé odkazy[upraviť | upraviť zdroj]

Zdroj[upraviť | upraviť zdroj]

Tento článok je čiastočný alebo úplný preklad článku Soustava lineárních rovnic na českej Wikipédii.