Spojitá funkcia

z Wikipédie, slobodnej encyklopédie
Prejsť na: navigácia, hľadanie

Spojitá funkcia je pojem z matematickej analýzy, ktorý označuje takú funkciu, že pri veľmi malej zmene hodnoty x sa funkčná hodnota f(x) zmení veľmi málo. Za istej dodatočnej okolnosti si definíciu spojitosti možno čiastočne preložiť jednoduchou predstavou, že graf spojitej funkcie sa nikde nepretrhne, respektíve sa dá nakresliť súvislou čiarou. Dodatočnou okolnosťou k tejto predstave je, že definičný obor funkcie musí byť interval. Všetky základné elementárne matematické funkcie sú spojité.

Definícia[upraviť | upraviť zdroj]

Hovoríme, že funkcia f:\ \mathbb{R}\to\mathbb{R} je spojitá v bode a, ak platí

\forall O(f(a))\exists O(a)\forall x\in O(a)\cap D(f):f(x)\in O(f(a))

Ekvivalentná definícia znie, že funkcia f je v bode a spojitá ak pre každé kladné \varepsilon existuje kladné \delta, že pre všetky x z definičného oboru funkcie f, pre ktoré |x-a|<\delta platí, že |f(x)-f(a)|<\varepsilon

Pojem spojitosti možno zaviesť aj pre funkcie ktorých definičný obor a obor hodnôt sú odlišné od reálnych čísel. Vyžaduje sa pri tom len dodatočná štruktúra, ktorá umožňuje hovoriť o nejakej blízkosti resp. vzdialenosti bodov. Pojem spojitosti sa priamočiaro zovšeobecňuje na funkcie zobrazujúce metrický priestor do metrického priestoru. Ak  (X,d_X), (Y,d_Y) sú metrické priestory a  f:\ X\to Y tak hovoríme, že f je spojitá v bode a\in X, ak je pravda  \forall \epsilon>0\ \exists \delta>0 \ d_X(x,a)<\epsilon \ \Rightarrow \ d_Y(f(a),f(x))<\epsilon .

Ešte všeobecnejšie hovoríme o spojitosti pre zobrazenie topologických priestorov.


Definícia pomocou limity[upraviť | upraviť zdroj]

Pomocou pojmu limita možno spojitosť funkcie definovať takto. Funkcia  f:\ \mathbb{R}\to\mathbb{R} je spojitá v bode a práve vtedy keď

 \lim_{x\to a}f(x)=f(a) .

A obdobne v každom metrickom priestore.

Vlastnosti spojitých funkcií z  \mathbb{R} do  \mathbb{R}[upraviť | upraviť zdroj]

  • Ak je funkcia f:\ [a,b]\to\mathbb{R} spojitá ( [a,b] je uzavretý interval) a číslo  r leží medzi hodnotami  f(a), \ f(b) , tak existuje číslo  c:\ c\in [a,b] také, že  r=f(c). Toto tvrdenie má široké uplatnenie v numerických metódach riešenia rovníc. Napríklad funkcia  f(x)=e^x+2x^3 má hodnoty  f(0)=1,\ f(-1)=1/e-2<0 . Takže vieme, že niekde v intervale  (-1,0) existuje číslo  c také, že  e^c+2c^3=0 .
  • Spojitá funkcia f:\ [a,b]\to\mathbb{R} je ohraničená a nadobúda maximálnu a minimálnu hodnotu. V tomto tvrdení nemožno uzavretý interval nahradiť (polo)otvoreným. Napríklad funkcia  (0,1)\ni x \mapsto x je spojitá, je aj ohraničená, ale nenadobúda minimum ani maximum. A zase funkcia  (0,1)\ni x\mapsto 1/x je spojitá ale nie je ani ohraničená.

Nespojité funkcie[upraviť | upraviť zdroj]

Ak funkcia nie je v niektorom bode svojho definičného oboru spojitá, tak hovoríme, že je nespojitá, resp. že má v danom bode bod nespojitosti. Poznamenajme, že nanpríklad funkcia  x\mapsto 1/x je na svojom definičnom obore spojitá funkcia v zmysle definície. Práve tento príklad ukazuje na nedokonalosť definície spojitej funkcie cez možnosť nakresliť súvisle jej graf. Príkladom nespojitej funkcie je funkcia signum - je nespojitá v bode 0. Platí pre ňu

 \sgn(0)=0,\ \lim_{x\to 0^-}\sgn(x)=-1,\ \lim_{x\to 0^+}\sgn(x)=+1 .

Iný známy príklad je takzvaná Dirichletova funkcia, ktorá priraďuje racionálnemu číslu hodnotu 1 a iracionálnemu hodnotu 0:

\chi(x)=\left\{\begin{array}{l}1\quad\textrm{ak}\quad x\in\mathbb{Q}\\0\quad\textrm{ak}\quad x\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}\end{array}\right.

Táto funkcia je nespojitá v každom reálnom čísle.