Studentovo rozdelenie

Studentovo rozdelenie (iné názvy: Studentovo pravdepodobnostné rozdelenie, Studentovo rozdelenie pravdepodobnosti, Studentovo t-rozdelenie (pravdepodobnosti), Studentovo rozdelenie t, t-rozdelenie (pravdepodobnosti), rozdelenie t) je v teórii pravdepodobnosti a matematickej štatistike spojité rozdelenie pravdepodobnosti.

Studentovo rozdelenie má v matematickej štatistike veľmi významné postavenie a využitie. Najčastejšie sa používa pri určovaní intervalových odhadov a pri testovaní štatistických hypotéz. Pri tomto testovaní sa využívajú kritické hodnoty t-rozdelenia, ktoré sú tabelované a na základe nich vieme testovanú štatistickú hypotézu prijať alebo zamietnuť. Tabelované sú tiež hodnoty distribučnej funkcie tohto rozdelenia.

Definícia

Nech $X$ je náhodná premenná, nech $n$ je prirodzené číslo. Potom táto náhodná premenná $X$ má Studentovo rozdelenie (alebo t-rozdelenie) s $n$ stupňami voľnosti, pokiaľ jej hustota pravdepodobnosti má nasledovný tvar:

$f_{n} (x) = \frac{\Gamma(\frac{n+1}{2})}{\Gamma(\frac{n}{2})\sqrt{n\pi}}\left(1 + \frac{x^2}{n}\right)^{-\frac{n+1}{2}}$

pre $x \in (-\infty; \infty)$. Označenie $\Gamma(\alpha)$ označuje gama funkciu (ktorá sa tiež nazýva aj Eulerov integrál druhého druhu) a je definovaná nasledovne:

$\operatorname\Gamma(\alpha) = \int_{0}^{\infty}e^{-x}x^{\alpha - 1}\mathrm{d}x$

Hustotu pravdepodobnosti môžeme vyjadriť aj pomocou beta funkcie (ktorá sa niekedy nazývaj aj Eulerov integrál prvého druhu), a to nasledovne:

$f_{n} (x) = \frac{1}{\sqrt{n}\, B \left (\frac{1}{2}, \frac{n}{2}\right )} \left(1+\frac{x^2}{n} \right)^{-\frac{n+1}{2}}$

Beta funkciu vo vzorci označuje $B(\alpha, \beta)$ a môžeme ju vyjadriť nasledovne:

$B(\alpha, \beta) = \int_{0}^{1} x^{\alpha -1}(1 - x)^{\beta - 1}\mathrm{d}x$

Označenie:

• $\operatorname X \sim t(n)$
• $\operatorname X \sim t_n$

Ďalšie vyjadrenia

Náhodnú premennú $X$, ktorá má Studentovo rozdelenie, môžeme tiež vyjadriť aj pomocou dvoch iných náhodných premenných, z ktorých jedna má normálne rozdelenie a druhá má $\chi^2$-rozdelenie, a to nasledovne:

Majme dve náhodné premenné: $Y$ a $Z$, pričom $Y$ má normálne normované rozdelenie a $Z$ má $\chi^2$-rozdelenie s $n$ stupňami voľnosti, teda: $\operatorname Y \sim N(0, 1)$ a $\operatorname Z \sim \chi^2(n)$, pričom tieto dve náhodné premenné sú nezávislé. Potom náhodná premenná $t$ definovaná vzťahom:

$t = \frac{Y}{\sqrt{\frac{Z}{n}}}$

má Studentovo rozdelenie s $n$ stupňami voľnosti.

Rozdelenie môžeme tiež vyjadriť aj pomocou jedného náhodného výberu z normálneho rozdelenia, a to nasledovne:
Majme náhodný výber $(X_1, ..., X_n)$ z normálneho rozdelenia $\operatorname N(\mu, \sigma^2)$. Nech $S^2 = \frac{1}{n-1}\sum_{j=1}^{n}(X_j - \bar{X})^2$. Potom náhodná premenná $t$, ktorú definujeme nasledovným vzťahom:

$t = \sqrt{n}\frac{\bar{X} - \mu}{S}$

má Studentovo rozdelenie s $(n-1)$ stupňami voľnosti.

Pokiaľ máme k dispozícii dva nezávislé náhodné výbery z normálneho rozdelenia, môžeme t-rozdelenie vyjadriť aj nasledovne:
Majme dva nezávislé náhodné výbery s rôznymi rozsahmi, teda: $(X_1, ..., X_m)$ a $(Y_1, ..., Y_n)$ z normálneho rozdelenia, kde náhodný výber $(X_1, ..., X_m)$ je z rozdelenia $\operatorname N(\mu_1, \sigma^2)$ a náhodný výber $(Y_1, ..., Y_n)$ je z rozdelenia $\operatorname N(\mu_2, \sigma^2)$ (vidíme, že disperzie sa rovnajú). Ďalej nech $\bar{X}$ a $\bar{Y}$ sú výberové priemery a $S_X^2$ a $S_Y^2$ sú výberové disperzie. Potom náhodná premenná nasledovného tvaru:

$t = \frac{\bar{X} - \bar{Y} - (\mu_1 - \mu_2)}{S\sqrt{\frac{1}{m} + \frac{1}{n}}}$

má Studentovo rozdelenie s $(m + n - 2)$ stupňami voľnosti. Premenná $S$ vystupujúca v danom vzťahu má nasledovné vyjadrenie:

$S = \sqrt{\frac{1}{m+n-2}\left[(m-1)S_X^2 + (n-1)S_Y^2\right]}$

Vlastnosti

Ako môžeme vidieť z definície tohto rozdelenia, závisí od počtu stupňov voľnosti. Studentovo rozdelenie je symetrické a má jeden vrchol v bode $x = 0$. Začiatočné momenty rozdelenia môžeme vyjadriť pomocou všeobecného vzťahu nasledovne:

$\mu_{2r} = \frac{\Gamma(r + \frac{1}{2})\Gamma(\frac{n}{2} - r)}{\sqrt{\pi}\Gamma(\frac{n}{2})}n^{r}$

pre $n = 1, 2, \cdots$.

Pre strednú hodnotu a disperziu tohto rozdelenia potom platí nasledovné:

• Ak $n > 1$, potom: $\operatorname E(X) = 0$
• Ak $n > 2$, potom $\operatorname D(X) = \frac{n}{n-2}$

Distribučná funkcia Studentovho rozdelenia má nasledovné vyjadrenie:

$F_X(x) = \frac{\Gamma(\frac{n+1}{2})}{\sqrt{n}\Gamma(\frac{n}{2})\Gamma(\frac{1}{2})}\int_{-\infty}^{x}\left(1+\frac{t^2}{n}\right)^{-\frac{n+1}{2}}\mathrm{d}x$

Kritická hodnota

Kritické hodnoty sa využívajú pri testovaní štatistických hypotéz a pre Studentovo rozdelenie sú tabelované. Kritickú hodnotu môžeme zadefinovať nasledovne:

Nech $X$ je náhodná premenná, ktorá má Studentovo rozdelenie s $n$ stupňami voľnosti. Potom hodnotu $\operatorname t(n, \alpha)$, ktorú náhodná premenná $X$ v absolútnej hodnote presiahne so zvolenou pravdepodobnosťou $\alpha$ nazývame kritickou hodnotou Studentovho rozdelenia. Teda matematicky zapísané:

$P (|X| > t(n, \alpha)) = 2P(X > t(n, \alpha)) = 2\int_{t(n, \alpha)}^{\infty} f_{n}(x) \mathrm{d}x = \alpha$

Zdroje

• RIEČAN, Beloslav; LAMOŠ, František; LENÁRT, Cyril. Pravdepodobnosť a matematická štatistika. Bratislava : ALFA – vydavateľstvo technickej a ekonomickej literatúry Bratislava, 1984. Kapitola Popisná štatistika a výberové metódy – Výber z normálneho rozdelenia, s. 320. (slovenčina)
• LAMOŠ, František; POTOCKÝ, Rastislav. Pravdepodobnosť a matematická štatistika - Štatistické analýzy. Bratislava : Vydavateľstvo Univerzity Komenského v Bratislave, 1998. ISBN 80-223-1262-2. Kapitola Niektoré typy rozdelenia pravdepodobnosti, s. 344 strán. (slovenčina)
• JANKOVÁ, Katarína; PÁZMAN, Andrej. Pravdepodobnosť a štatistika. Bratislava : Vydavateľstvo UK, 2011. ISBN 978-80-223-2931-6. Kapitola Dôležité rozdelenia odvodené od normálneho, s. 150. (slovenčina)
• BARNOVSKÁ, Mária, kol.Cvičenia z matematickej analýzy III.. [s.l.] : MFF UK, 2005. Dostupné online. Kapitola Parametrické integrály – Eulerove integrály, s. 156. (slovenčina)
• POTOCKÝ, Rastislav, kolektívZbierka úloh z pravdepodobnosti a matematickej štatistiky. Bratislava : Vydavateľstvo Alfa, 1991. ISBN 80-05-00524-5. Kapitola Náhodné premenné, s. 388. (slovenčina)
• Tento článok je čiastočný alebo úplný preklad článku Student's t-distribution na anglickej Wikipédii.