Studentovo rozdelenie

z Wikipédie, slobodnej encyklopédie
Prejsť na: navigácia, hľadanie

Studentovo rozdelenie (iné názvy: Studentovo pravdepodobnostné rozdelenie, Studentovo rozdelenie pravdepodobnosti, Studentovo t-rozdelenie (pravdepodobnosti), Studentovo rozdelenie t, t-rozdelenie (pravdepodobnosti), rozdelenie t) je v teórii pravdepodobnosti a matematickej štatistike spojité rozdelenie pravdepodobnosti.

Studentovo rozdelenie má v matematickej štatistike veľmi významné postavenie a využitie. Najčastejšie sa používa pri určovaní intervalových odhadov a pri testovaní štatistických hypotéz. Pri tomto testovaní sa využívajú kritické hodnoty t-rozdelenia, ktoré sú tabelované a na základe nich vieme testovanú štatistickú hypotézu prijať alebo zamietnuť. Tabelované sú tiež hodnoty distribučnej funkcie tohto rozdelenia.

Definícia[upraviť | upraviť zdroj]

Nech X je náhodná premenná, nech n je prirodzené číslo. Potom táto náhodná premenná X má Studentovo rozdelenie (alebo t-rozdelenie) s n stupňami voľnosti, pokiaľ jej hustota pravdepodobnosti má nasledovný tvar:


f_{n} (x) = \frac{\Gamma(\frac{n+1}{2})}{\Gamma(\frac{n}{2})\sqrt{n\pi}}\left(1 + \frac{x^2}{n}\right)^{-\frac{n+1}{2}}

pre x \in (-\infty; \infty). Označenie \Gamma(\alpha) označuje gama funkciu (ktorá sa tiež nazýva aj Eulerov integrál druhého druhu) a je definovaná nasledovne:

\operatorname\Gamma(\alpha) = \int_{0}^{\infty}e^{-x}x^{\alpha - 1}\mathrm{d}x

Hustotu pravdepodobnosti môžeme vyjadriť aj pomocou beta funkcie (ktorá sa niekedy nazývaj aj Eulerov integrál prvého druhu), a to nasledovne:

f_{n} (x) = \frac{1}{\sqrt{n}\, B \left (\frac{1}{2}, \frac{n}{2}\right )} \left(1+\frac{x^2}{n} \right)^{-\frac{n+1}{2}}

Beta funkciu vo vzorci označuje B(\alpha, \beta) a môžeme ju vyjadriť nasledovne:

B(\alpha, \beta) = \int_{0}^{1} x^{\alpha -1}(1 - x)^{\beta - 1}\mathrm{d}x

Označenie:

  • \operatorname X \sim t(n)
  • \operatorname X \sim t_n

Ďalšie vyjadrenia[upraviť | upraviť zdroj]

Náhodnú premennú X, ktorá má Studentovo rozdelenie, môžeme tiež vyjadriť aj pomocou dvoch iných náhodných premenných, z ktorých jedna má normálne rozdelenie a druhá má \chi^2-rozdelenie, a to nasledovne:

Majme dve náhodné premenné: Y a Z, pričom Y má normálne normované rozdelenie a Z\chi^2-rozdelenie s n stupňami voľnosti, teda: \operatorname Y \sim N(0, 1) a \operatorname Z \sim \chi^2(n), pričom tieto dve náhodné premenné sú nezávislé. Potom náhodná premenná t definovaná vzťahom:

t = \frac{Y}{\sqrt{\frac{Z}{n}}}

má Studentovo rozdelenie s n stupňami voľnosti.

Rozdelenie môžeme tiež vyjadriť aj pomocou jedného náhodného výberu z normálneho rozdelenia, a to nasledovne:
Majme náhodný výber (X_1, ..., X_n) z normálneho rozdelenia \operatorname N(\mu, \sigma^2). Nech S^2 = \frac{1}{n-1}\sum_{j=1}^{n}(X_j - \bar{X})^2. Potom náhodná premenná t, ktorú definujeme nasledovným vzťahom:

t = \sqrt{n}\frac{\bar{X} - \mu}{S}

má Studentovo rozdelenie s (n-1) stupňami voľnosti.

Pokiaľ máme k dispozícii dva nezávislé náhodné výbery z normálneho rozdelenia, môžeme t-rozdelenie vyjadriť aj nasledovne:
Majme dva nezávislé náhodné výbery s rôznymi rozsahmi, teda: (X_1, ..., X_m) a (Y_1, ..., Y_n) z normálneho rozdelenia, kde náhodný výber (X_1, ..., X_m) je z rozdelenia \operatorname N(\mu_1, \sigma^2) a náhodný výber (Y_1, ..., Y_n) je z rozdelenia \operatorname N(\mu_2, \sigma^2) (vidíme, že disperzie sa rovnajú). Ďalej nech \bar{X} a \bar{Y} sú výberové priemery a S_X^2 a S_Y^2 sú výberové disperzie. Potom náhodná premenná nasledovného tvaru:

t = \frac{\bar{X} - \bar{Y} - (\mu_1 - \mu_2)}{S\sqrt{\frac{1}{m} + \frac{1}{n}}}

má Studentovo rozdelenie s (m + n - 2) stupňami voľnosti. Premenná S vystupujúca v danom vzťahu má nasledovné vyjadrenie:

S = \sqrt{\frac{1}{m+n-2}\left[(m-1)S_X^2 + (n-1)S_Y^2\right]}

Vlastnosti[upraviť | upraviť zdroj]

Ako môžeme vidieť z definície tohto rozdelenia, závisí od počtu stupňov voľnosti. Studentovo rozdelenie je symetrické a má jeden vrchol v bode x = 0. Začiatočné momenty rozdelenia môžeme vyjadriť pomocou všeobecného vzťahu nasledovne:

\mu_{2r} = \frac{\Gamma(r + \frac{1}{2})\Gamma(\frac{n}{2} - r)}{\sqrt{\pi}\Gamma(\frac{n}{2})}n^{r}

pre n = 1, 2, \cdots.

Pre strednú hodnotu a disperziu tohto rozdelenia potom platí nasledovné:

  • Ak n > 1, potom: \operatorname E(X) = 0
  • Ak n > 2, potom \operatorname D(X) = \frac{n}{n-2}

Distribučná funkcia Studentovho rozdelenia má nasledovné vyjadrenie:

F_X(x) = \frac{\Gamma(\frac{n+1}{2})}{\sqrt{n}\Gamma(\frac{n}{2})\Gamma(\frac{1}{2})}\int_{-\infty}^{x}\left(1+\frac{t^2}{n}\right)^{-\frac{n+1}{2}}\mathrm{d}x

Kritická hodnota[upraviť | upraviť zdroj]

Kritické hodnoty sa využívajú pri testovaní štatistických hypotéz a pre Studentovo rozdelenie sú tabelované. Kritickú hodnotu môžeme zadefinovať nasledovne:

Nech X je náhodná premenná, ktorá má Studentovo rozdelenie s n stupňami voľnosti. Potom hodnotu \operatorname t(n, \alpha), ktorú náhodná premenná X v absolútnej hodnote presiahne so zvolenou pravdepodobnosťou \alpha nazývame kritickou hodnotou Studentovho rozdelenia. Teda matematicky zapísané:

P (|X| > t(n, \alpha)) = 2P(X > t(n, \alpha)) = 2\int_{t(n, \alpha)}^{\infty} f_{n}(x) \mathrm{d}x = \alpha

Zdroje[upraviť | upraviť zdroj]

  • RIEČAN, Beloslav; LAMOŠ, František; LENÁRT, Cyril. Pravdepodobnosť a matematická štatistika. Bratislava : ALFA – vydavateľstvo technickej a ekonomickej literatúry Bratislava, 1984. Kapitola Popisná štatistika a výberové metódy – Výber z normálneho rozdelenia, s. 320.
  • LAMOŠ, František; POTOCKÝ, Rastislav. Pravdepodobnosť a matematická štatistika - Štatistické analýzy. Bratislava : Vydavateľstvo Univerzity Komenského v Bratislave, 1998. ISBN 80-223-1262-2. Kapitola Niektoré typy rozdelenia pravdepodobnosti, s. 344 strán.
  • JANKOVÁ, Katarína; PÁZMAN, Andrej. Pravdepodobnosť a štatistika. Bratislava : Vydavateľstvo UK, 2011. ISBN 978-80-223-2931-6. Kapitola Dôležité rozdelenia odvodené od normálneho, s. 150.
  • BARNOVSKÁ, Mária, kol. Cvičenia z matematickej analýzy III.. [s.l.] : MFF UK, 2005. Dostupné online. Kapitola Parametrické integrály – Eulerove integrály, s. 156.
  • POTOCKÝ, Rastislav, kolektív Zbierka úloh z pravdepodobnosti a matematickej štatistiky. Bratislava : Vydavateľstvo Alfa, 1991. ISBN 80-05-00524-5. Kapitola Náhodné premenné, s. 388.
  • Tento článok je čiastočný alebo úplný preklad článku Student's t-distribution na anglickej Wikipédii.