Studentovo rozdelenie

Studentovo rozdelenie (iné názvy: Studentovo pravdepodobnostné rozdelenie, Studentovo rozdelenie pravdepodobnosti, Studentovo t-rozdelenie (pravdepodobnosti), Studentovo rozdelenie t, t-rozdelenie (pravdepodobnosti), rozdelenie t) je v teórii pravdepodobnosti a matematickej štatistike spojité rozdelenie pravdepodobnosti.

Studentovo rozdelenie má v matematickej štatistike veľmi významné postavenie a využitie. Najčastejšie sa používa pri určovaní intervalových odhadov a pri testovaní štatistických hypotéz. Pri tomto testovaní sa využívajú kritické hodnoty t-rozdelenia, ktoré sú tabelované a na základe nich vieme testovanú štatistickú hypotézu prijať alebo zamietnuť. Tabelované sú tiež hodnoty distribučnej funkcie tohto rozdelenia.

Definícia

Nech $X$ je náhodná premenná, nech $n$ je prirodzené číslo. Potom táto náhodná premenná $X$ má Studentovo rozdelenie (alebo t-rozdelenie) s $n$ stupňami voľnosti, pokiaľ jej hustota pravdepodobnosti má nasledovný tvar:

$f_{n}(x)={\frac {\Gamma ({\frac {n+1}{2}})}{\Gamma ({\frac {n}{2}}){\sqrt {n\pi }}}}\left(1+{\frac {x^{2}}{n}}\right)^{-{\frac {n+1}{2}}}$

pre $x\in (-\infty ;\infty )$. Označenie $\Gamma (\alpha )$ označuje gama funkciu (ktorá sa tiež nazýva aj Eulerov integrál druhého druhu) a je definovaná nasledovne:

$\operatorname {\Gamma } (\alpha )=\int _{0}^{\infty }e^{-x}x^{\alpha -1}\mathrm {d} x$

Hustotu pravdepodobnosti môžeme vyjadriť aj pomocou beta funkcie (ktorá sa niekedy nazývaj aj Eulerov integrál prvého druhu), a to nasledovne:

$f_{n}(x)={\frac {1}{{\sqrt {n}}\,B\left({\frac {1}{2}},{\frac {n}{2}}\right)}}\left(1+{\frac {x^{2}}{n}}\right)^{-{\frac {n+1}{2}}}$

Beta funkciu vo vzorci označuje $B(\alpha ,\beta )$ a môžeme ju vyjadriť nasledovne:

$B(\alpha ,\beta )=\int _{0}^{1}x^{\alpha -1}(1-x)^{\beta -1}\mathrm {d} x$

Označenie:

• $\operatorname {X} \sim t(n)$
• $\operatorname {X} \sim t_{n}$

Ďalšie vyjadrenia

Náhodnú premennú $X$, ktorá má Studentovo rozdelenie, môžeme tiež vyjadriť aj pomocou dvoch iných náhodných premenných, z ktorých jedna má normálne rozdelenie a druhá má $\chi ^{2}$-rozdelenie, a to nasledovne:

Majme dve náhodné premenné: $Y$ a $Z$, pričom $Y$ má normálne normované rozdelenie a $Z$ má $\chi ^{2}$-rozdelenie s $n$ stupňami voľnosti, teda: $\operatorname {Y} \sim N(0,1)$ a $\operatorname {Z} \sim \chi ^{2}(n)$, pričom tieto dve náhodné premenné sú nezávislé. Potom náhodná premenná $t$ definovaná vzťahom:

$t={\frac {Y}{\sqrt {\frac {Z}{n}}}}$

má Studentovo rozdelenie s $n$ stupňami voľnosti.

Rozdelenie môžeme tiež vyjadriť aj pomocou jedného náhodného výberu z normálneho rozdelenia, a to nasledovne:
Majme náhodný výber $(X_{1},...,X_{n})$ z normálneho rozdelenia $\operatorname {N} (\mu ,\sigma ^{2})$. Nech $S^{2}={\frac {1}{n-1}}\sum _{j=1}^{n}(X_{j}-{\bar {X}})^{2}$. Potom náhodná premenná $t$, ktorú definujeme nasledovným vzťahom:

$t={\sqrt {n}}{\frac {{\bar {X}}-\mu }{S}}$

má Studentovo rozdelenie s $(n-1)$ stupňami voľnosti.

Pokiaľ máme k dispozícii dva nezávislé náhodné výbery z normálneho rozdelenia, môžeme t-rozdelenie vyjadriť aj nasledovne:
Majme dva nezávislé náhodné výbery s rôznymi rozsahmi, teda: $(X_{1},...,X_{m})$ a $(Y_{1},...,Y_{n})$ z normálneho rozdelenia, kde náhodný výber $(X_{1},...,X_{m})$ je z rozdelenia $\operatorname {N} (\mu _{1},\sigma ^{2})$ a náhodný výber $(Y_{1},...,Y_{n})$ je z rozdelenia $\operatorname {N} (\mu _{2},\sigma ^{2})$ (vidíme, že disperzie sa rovnajú). Ďalej nech ${\bar {X}}$ a ${\bar {Y}}$ sú výberové priemery a $S_{X}^{2}$ a $S_{Y}^{2}$ sú výberové disperzie. Potom náhodná premenná nasledovného tvaru:

$t={\frac {{\bar {X}}-{\bar {Y}}-(\mu _{1}-\mu _{2})}{S{\sqrt {{\frac {1}{m}}+{\frac {1}{n}}}}}}$

má Studentovo rozdelenie s $(m+n-2)$ stupňami voľnosti. Premenná $S$ vystupujúca v danom vzťahu má nasledovné vyjadrenie:

$S={\sqrt {{\frac {1}{m+n-2}}\left[(m-1)S_{X}^{2}+(n-1)S_{Y}^{2}\right]}}$

Vlastnosti

Ako môžeme vidieť z definície tohto rozdelenia, závisí od počtu stupňov voľnosti. Studentovo rozdelenie je symetrické a má jeden vrchol v bode $x=0$. Začiatočné momenty rozdelenia môžeme vyjadriť pomocou všeobecného vzťahu nasledovne:

$\mu _{2r}={\frac {\Gamma (r+{\frac {1}{2}})\Gamma ({\frac {n}{2}}-r)}{{\sqrt {\pi }}\Gamma ({\frac {n}{2}})}}n^{r}$

pre $n=1,2,\cdots$.

Pre strednú hodnotu a disperziu tohto rozdelenia potom platí nasledovné:

• Ak $n>1$, potom: $\operatorname {E} (X)=0$
• Ak $n>2$, potom $\operatorname {D} (X)={\frac {n}{n-2}}$

Distribučná funkcia Studentovho rozdelenia má nasledovné vyjadrenie:

$F_{X}(x)={\frac {\Gamma ({\frac {n+1}{2}})}{{\sqrt {n}}\Gamma ({\frac {n}{2}})\Gamma ({\frac {1}{2}})}}\int _{-\infty }^{x}\left(1+{\frac {t^{2}}{n}}\right)^{-{\frac {n+1}{2}}}\mathrm {d} x$

Kritická hodnota

Kritické hodnoty sa využívajú pri testovaní štatistických hypotéz a pre Studentovo rozdelenie sú tabelované. Kritickú hodnotu môžeme zadefinovať nasledovne:

Nech $X$ je náhodná premenná, ktorá má Studentovo rozdelenie s $n$ stupňami voľnosti. Potom hodnotu $\operatorname {t} (n,\alpha )$, ktorú náhodná premenná $X$ v absolútnej hodnote presiahne so zvolenou pravdepodobnosťou $\alpha$ nazývame kritickou hodnotou Studentovho rozdelenia. Teda matematicky zapísané:

$P(|X|>t(n,\alpha ))=2P(X>t(n,\alpha ))=2\int _{t(n,\alpha )}^{\infty }f_{n}(x)\mathrm {d} x=\alpha$

Zdroje

• RIEČAN, Beloslav; LAMOŠ, František; LENÁRT, Cyril. Pravdepodobnosť a matematická štatistika. Bratislava : ALFA – vydavateľstvo technickej a ekonomickej literatúry Bratislava, 1984. Kapitola Popisná štatistika a výberové metódy – Výber z normálneho rozdelenia, s. 320.
• LAMOŠ, František; POTOCKÝ, Rastislav. Pravdepodobnosť a matematická štatistika - Štatistické analýzy. Bratislava : Vydavateľstvo Univerzity Komenského v Bratislave, 1998. ISBN 80-223-1262-2. Kapitola Niektoré typy rozdelenia pravdepodobnosti, s. 344 strán.
• JANKOVÁ, Katarína; PÁZMAN, Andrej. Pravdepodobnosť a štatistika. Bratislava : Vydavateľstvo UK, 2011. ISBN 978-80-223-2931-6. Kapitola Dôležité rozdelenia odvodené od normálneho, s. 150.
• BARNOVSKÁ, Mária, kol. Cvičenia z matematickej analýzy III.. [s.l.] : MFF UK, 2005. Dostupné online. Kapitola Parametrické integrály – Eulerove integrály, s. 156.
• POTOCKÝ, Rastislav, kolektív Zbierka úloh z pravdepodobnosti a matematickej štatistiky. Bratislava : Vydavateľstvo Alfa, 1991. ISBN 80-05-00524-5. Kapitola Náhodné premenné, s. 388.
• Tento článok je čiastočný alebo úplný preklad článku Student's t-distribution na anglickej Wikipédii.